圆的对称性
讲解
你在上一章学过旋转对称：图形绕某点转 360°/n 后与自身重合。现在想想圆：转多少度能重合？答案是任意角度——因为每个点到圆心距离都相等，转多转少都「长得一样」。圆是把上一章的 n 重对称推到极限的图形。
上面的实验台是 n 重旋转对称（n 片叶）。拖到 n = 8、n = 20，图形越来越「圆润」；想象 n 无限大，它就是圆。圆的无数条对称轴也都好理解：任何一条直径都对折重合。
这层对称性不是摆设：下一节的垂径定理，本质就是「沿过圆心且垂直于弦的直线对折，弦的两个端点重合」。遇到圆的问题想不出辅助线时，先想想对称——对折能重合的量必相等。
现实里能做什么
为什么圆形零件可以随便转位
机床上加工法兰盘，转到任意角度装夹，零件都和原来完全重合——这是圆形工件能被高效批量生产的原因。轴承要滚动顺滑、枪管要瞄准稳定，本质都是利用「绕圆心旋转任意角度不变」这条极限对称性。圆桌会议也一样：没有主位，因为转多少度都一样。
知识要点
- 任何过圆心的直线都是对称轴（对称轴有无数条）
- 绕圆心旋转任意角度都与自身重合
- 垂径定理、圆心角定理都是对称性的直接推论
典型例题（点击展开题解）
例 1给你一张圆形纸片，不准用圆规和直尺，怎么找出它的圆心？说明原理。
给你一张圆形纸片，不准用圆规和直尺，怎么找出它的圆心？说明原理。
- 把纸片对折，使两半完全重合，压出折痕。圆是轴对称图形，重合时折痕必过圆心——这条折痕就是一条直径。
- 换一个角度再对折一次，得到第二条折痕，它也是直径。
- 两条直径的交点就是圆心。原理：对称轴必须过圆心，两条对称轴的交点自然就是圆心。
对折两次（两个不同角度），两条折痕（直径）的交点即圆心。依据：圆的任何对称轴都过圆心。