面积型概率
讲解
飞镖随机扎向一块圆形靶面，问扎中内圆的概率。飞镖落点有无穷多个，「数结果」这条路走不通了。但换个角度看：落点在靶面上处处等可能，那么扎中哪块区域，机会就和那块区域的面积成正比——面积大的区域更容易接到落点。于是 P(扎中内圆) = 内圆面积 ÷ 靶面面积。
拖动内圆半径 r：P = πr²/πR² = (r/R)²。注意红色标注——半径拖到靶面一半（r/R = 0.5）时，概率是 0.25 而不是 0.5！因为面积按平方增长：半径比 1:2 的两个圆，面积比是 1:4。这就是面积型概率最高频的失分点：概率比的是面积，不是半径；从半径到概率，中间隔着一次平方。
转盘是同一件事的另一种说法：指针停在某个扇形的概率 = 该扇形圆心角 ÷ 360°。扇形面积 = n/360 × πR²，除以整圆面积 πR²，还是 n/360——角度比就是面积比。方格撒豆子也是：P(豆落阴影) = 阴影格数 ÷ 总格数。一类问题，一个公式：P = 事件区域 ÷ 总区域。
- 确认落点等可能（题目出现「随机」「任意」）
- P = 事件区域面积 ÷ 总区域面积（同形状可约去公共因子）
- 圆套圆：P(内圆) = (r/R)²，先平方再作比
- 转盘：P = 圆心角度数 ÷ 360
- 反着用也常考：已知概率，反求区域边界（如「P = 1/4，求分割线位置」）
现实里能做什么
商场大转盘：奖项是怎么「设计」出来的
商场抽奖转盘上「一等奖」扇形只画 6°（占 360° 的 1/60），「谢谢参与」占了大半圈。概率 = 圆心角 ÷ 360，商家画扇形就是在画概率：一等奖 1/60，中一次奖（含小奖）约 1/8。你转多少次，都逃不出这块饼图——看懂转盘的概率构成，就明白「人人有奖」和「谢谢参与」可以同时为真。
知识要点
- P(A) = A 区域面积 / 总区域面积（面积比，不是长度比）
- 转盘：P = 圆心角度数 / 360（角度比 = 面积比）
- 圆中圆：P(内圆) = (r/R)²——半径比要平方，最高频易错点
- 前提：落点等可能（「随机」「任意」扎/停/撒）
典型例题（点击展开题解）
例 1如图是一个半径为 20cm 的圆形飞镖靶，中间有一个半径为 10cm 的同心…
如图是一个半径为 20cm 的圆形飞镖靶，中间有一个半径为 10cm 的同心圆。向靶面随机投掷飞镖（假设飞镖总能落在靶面上），求：① 飞镖落在内圆区域的概率；② 飞镖落在环形区域（内圆之外、靶面之内）的概率。
- ① 落点在靶面上处处等可能，概率 = 面积比：P(内圆) = π·10² / π·20² = 100/400 = 1/4
- 注意：半径比是 10/20 = 1/2，但概率是半径比的平方——面积按平方增长，P = (1/2)² = 1/4，不是 1/2。(r/R)² = (1/2)² = 1/4
- ② 环形面积 = 靶面 − 内圆，用对立事件最省事：P(环形) = 1 − 1/4 = 3/4
① 1/4；② 3/4。圆套圆的概率 = (r/R)²，半径比要平方。
例 2一个转盘被分成三个扇形区域，红色扇形圆心角 90°，黄色扇形圆心角 150°…
一个转盘被分成三个扇形区域，红色扇形圆心角 90°，黄色扇形圆心角 150°，其余为蓝色。转动转盘，求指针分别停在红、黄、蓝区域的概率。
- 蓝色圆心角 = 360 − 90 − 150 = 120°。360 − 90 − 150 = 120°
- 指针等可能停在任意方向，概率 = 圆心角 ÷ 360：P(红) = 90/360 = 1/4
- P(黄) = 150/360 = 5/12，P(蓝) = 120/360 = 1/3
- 验算：1/4 + 5/12 + 1/3 = 3/12 + 5/12 + 4/12 = 1 ✓
P(红) = 1/4，P(黄) = 5/12，P(蓝) = 1/3。转盘概率 = 圆心角/360，各事件概率之和为 1 可验算。