树状图法：放回与不放回
讲解
口袋里 3 个红球 2 个白球，不放回地摸两次，求两球同色的概率。这里第二步的口袋已经不是原来的口袋了——摸走一个红球后剩 2 红 2 白，摸走一个白球后剩 3 红 1 白。列表法按 6×6 铺格子会出错，正确工具是树状图：第一次摸的每种结果伸出第二层分支，每条分支写上「在前面结果已发生」的条件下这一步的概率。
拖动红球白球个数，盯住第二层的分母：永远是 4（第一步摸走一个后剩 5 − 1 个）。这就是「不放回」在树状图上的样子——同一层分支的分母全部一样，但比第一步少一。末端概率相乘：P(两红) = 3/5 × 2/4 = 3/10，P(两白) = 2/5 × 1/4 = 1/10，所以 P(同色) = 4/10 = 2/5。若是「有放回」地摸，第二步分母还是 5，P(两红) = 9/25——一字之差，答案完全不同。
树状图真正的威力在「至少」类问题。求「至少摸到一个红球」，直接数要算「红红、红白、白红」三种，而它的对立事件只有「白白」一种。P(至少一红) = 1 − P(白白) = 1 − 1/10 = 9/10，一步到位。记住这条捷径：看到「至少」，先想对立。
- 画树：每步试验画一层，分支写该步的概率
- 不放回试验：下一层分母减一（总数变少）
- 某条完整路径的概率 = 沿途分支概率相乘
- 问「至少有一个」→ 用对立事件 1 − P(全都没有)
- 验算：所有末端概率之和必须等于 1
现实里能做什么
彩票摇奖球：不放回抽样的原型
双色球从 33 个红球里摇出 6 个，摇出的球不再放回——这就是不放回试验的工业级版本。「前 5 个都不是蓝球，第 6 个该出了吧？」错：每一步的球池独立于你的愿望，不放回只改变球池组成（分母减一），不改变「欠着总得还」的错觉。树状图每层分母递减的结构，正是摇奖机每摇一球少一球的数学写照。
知识要点
- 适用：两步及以上、步骤之间有依赖（前一步影响后一步）
- 不放回：第二步的球（或人数）少一个，分母要减一
- 末端概率 = 沿途各分支概率相乘
- 「至少有一个」类问题用对立事件：P(至少一个 A) = 1 − P(一个都没有)
典型例题（点击展开题解）
例 1口袋中装有 3 个红球和 2 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2…
口袋中装有 3 个红球和 2 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2 个球。求两次摸到的球颜色相同的概率。
- 画树状图：第一层 3/5 红、2/5 白；第二层不放回，分母为 4。
- 两红：P(红红) = 3/5 × 2/4 = 6/20
- 两白：P(白白) = 2/5 × 1/4 = 2/20
- 同色 = 两红 + 两白：P(同色) = 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5
P(同色) = 2/5。不放回试验：第二步分母少 1，用树状图最稳妥。
例 2甲、乙、丙三人依次从 2 张票（1 张门票 1 张空票）中不放回抽取一张。用…
甲、乙、丙三人依次从 2 张票（1 张门票 1 张空票）中不放回抽取一张。用树状图说明三人中票的概率是否相同。
- 第一人：2 个等可能结果，中票概率 1/2。P(甲) = 1/2
- 第二人：中票 = 甲没中（1/2）且自己从剩下的 1 中 1 里抽中（1/1）→ 或甲中了就没票可中。P(乙) = 1/2 × 1/1 = 1/2
- 第三人：只有当前两人都没中才会轮到有票可抽：P(丙) = 1/2 × 1/1 × 1/1 = 1/2
- 三人中票概率都是 1/2——抽签不分先后，谁也不用抢。P(甲) = P(乙) = P(丙) = 1/2
三人中票概率相同，都是 1/2。这就是「抽签公平」的树状图证明。
例 3口袋中装有 m 个红球和 3 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2…
口袋中装有 m 个红球和 3 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2 个球。若摸出的两球颜色相同的概率为 1/2，求 m 的值。
- 设总球数 n = m + 3。画树状图（不放回，第二步分母为 m + 2）：
- 两红与两白的概率：P(同色) = m(m−1)/((m+3)(m+2)) + 3×2/((m+3)(m+2))
- 由题意列方程：(m² − m + 6)/((m+3)(m+2)) = 1/2
- 去分母整理：2m² − 2m + 12 = m² + 5m + 6 → m² − 7m + 6 = 0
- 解得 m = 6 或 m = 1。检验：m = 1 时口袋 1 红 3 白，P(同色) = 0 + 6/12 = 1/2 ✓；m = 6 时 P(同色) = 36/72 = 1/2 ✓。两解都符合题意。m = 1 或 6
m = 1 或 m = 6。概率与方程的综合题：先按树状图列含参概率式，再解一元二次方程并检验。