增长率问题：连续两次变化
讲解
一月份产量 100 件，之后每个月都比上个月增长相同的百分率 x。二月是 100(1 + x)，三月是在二月的基础上再涨，所以是 100(1 + x)(1 + x) = 100(1 + x)²。注意：不是 100(1 + 2x)——第二个 x 是长在「已经涨过的那一份」上的。
拖动增长率滑块，看三根柱子的高度关系。增长率调成 0 时三根一样高；调大之后第二根比第一根高出的一截，明显小于第三根比第二根高出的那一截——因为第三年的增量是长在更大的基数上的。这就是「平方」的直观含义。
这类题的解法非常固定：把 a(1 + x)² = b 两边除以 a，得到 (1 + x)² = b/a，然后直接开平方，1 + x = ±√(b/a)，解出 x。因为增长率通常是正数，取加号那个；如果算出来小于 −1，那在实际情境里也没意义，舍掉。
最容易错的地方不是解方程，而是列方程时把「两期」写成「乘 2」。判断方法：题目里出现「连续两年」「第一季度到第三季度」这类说法，就是平方；出现「今年比去年」只有一次，那是一次方程，别上平方。
现实里能做什么
GDP、房价、粉丝数，都是这条曲线
任何按固定百分比连续增长的东西——复利存款、用户增长、通货膨胀——都是这个模型。反过来用它更有用：知道两年后的数，能算出年均增长率，这是评估「到底增长得快不快」的标准做法。
知识要点
- 两期增长：a(1 + x)² = b；两期下降：a(1 − x)² = b
- 关键是「在上一期的基础上」再乘一次，不是乘 2
- 解法：先除以 a，再直接开平方，最后检验取舍
- 增长率一般取正值；算出的两个解里，不符合实际意义的要舍去
典型例题（点击展开题解）
例 1某工厂第一季度的产量是 100 万件，第三季度的产量是 121 万件。如果第…
某工厂第一季度的产量是 100 万件，第三季度的产量是 121 万件。如果第二、三季度的增长率相同，求这个增长率。
- 设增长率为 x，则第二季度是 100(1 + x)，第三季度是 100(1 + x)²。
- 根据题意列方程：100(1 + x)² = 121
- 两边除以 100：(1 + x)² = 1.21
- 直接开平方：1 + x = ±1.1
- 解出两个值：x = 0.1 或 x = −2.1。
- 增长率必须大于 −1（产量不能变成负数），所以 x = −2.1 舍去。
增长率为 10%。这类题只有一个合理解，另一个必须按实际意义舍去。
例 2某种商品经过连续两次降价后，售价由 200 元降到 128 元。若每次降价的…
某种商品经过连续两次降价后，售价由 200 元降到 128 元。若每次降价的百分率相同，求这个百分率。
- 设每次降价的百分率为 x，则两次后价格为 200(1 − x)²。
- 列方程：200(1 − x)² = 128
- 两边除以 200：(1 − x)² = 0.64
- 开平方：1 − x = ±0.8
- 解出：x = 0.2 或 x = 1.8。降价率不可能大于 1（否则白送还倒贴），舍去 1.8。
每次降价 20%。注意降价用 (1 − x)，增长用 (1 + x)，别搞反。