圆周角定理
讲解
把圆心角的顶点从圆心 O 搬到圆上，就得到圆周角。神奇的事发生了：顶点沿着圆随便滑动，只要角的两条边还是穿过 A、B 两点，这个角的大小纹丝不动，而且永远等于圆心角的一半。上一节的实验台你已经在用了——现在换个数据再玩一次，重点盯住绿色角：
拖动 C：∠ACB 恒等于 ∠AOB 的一半（150° 对 75°）。然后拖 ∠AOB 到 180°——AB 变成直径，∠ACB 变成 90° 并且锁死。这就是圆里最好用的推论：**直径对的圆周角是直角**。考试里看到直径，反射动作是找它对的圆周角。
为什么圆周角不变？直觉版证明：连接 OC（半径）。△OAC 和 △OBC 都是等腰三角形（两半径相等），∠A = ∠ACO，∠B = ∠BCO。外角 ∠AOB = 2∠ACB——一步等腰三角形就推完了，你现在的知识完全够用。
- 同弧圆周角 = 圆心角的一半，且同弧圆周角彼此相等
- 直径对直角：见到直径，找 90° 圆周角
- 90° 圆周角 → 所对弦是直径（常用来「定直径」）
- 圆内接四边形对角互补（一个 100°，对角必 80°）
现实里能做什么
古剧场的座位设计
古希腊的圆形剧场把观众席排成以舞台为圆心的弧：同一段弧上的每个座位，看舞台两端的视角一样大——因为同弧上的圆周角相等。反过来，工程上要「保证看到 90° 视野」，就把观测点放在以目标两端连线为直径的圆上。一个几何定理，两种完全相反的用法。
知识要点
- 圆周角 = 同弧圆心角的一半（顶点在圆上滑动不变）
- 直径所对的圆周角恒为 90°；90° 圆周角所对的弦是直径
- 圆内接四边形对角互补
- 解题暗号：见到直径，先找它对的那个 90° 圆周角
典型例题（点击展开题解）
例 1AB 是 ⊙O 的直径，AB = 10，弦 AC = 6。求 BC 的长。
AB 是 ⊙O 的直径，AB = 10，弦 AC = 6。求 BC 的长。
- AB 是直径，C 在圆上，由「直径对的圆周角是直角」：∠ACB = 90°
- 直角三角形 ACB 中直接勾股：BC = √(AB² − AC²) = √(100 − 36) = 8
BC = 8。见到直径 → 找 90° 圆周角 → 勾股，这是圆里出现频率最高的三连。
例 2劣弧 AB 所对圆心角 ∠AOB = 100°，点 C 在优弧 AB 上（不…
劣弧 AB 所对圆心角 ∠AOB = 100°，点 C 在优弧 AB 上（不与 A、B 重合）。求 ∠ACB；若 D 也在优弧上，∠ADB 与 ∠ACB 什么关系？
- 圆周角定理：同弧圆周角等于圆心角一半。∠ACB = 100° ÷ 2 = 50°
- D 与 C 在同一段优弧上，对着同一条劣弧 AB，所以 ∠ADB = ∠ACB = 50°。同弧圆周角相等——与点在哪无关。
- 注意陷阱：若点跑到劣弧 AB 上（比如 P 在劣弧上），∠APB 对的是优弧，圆周角 = (360 − 100)/2 = 130°。位置决定看哪条弧。
∠ACB = ∠ADB = 50°（同弧圆周角相等）。若点在劣弧上则得 130°，与优弧上的点构成圆内接四边形对角互补（50 + 130 = 180）。
例 3⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠B = 100°。求 ∠D，并说明四边形…
⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠B = 100°。求 ∠D，并说明四边形四个角之间还有哪些固定关系。
- 圆内接四边形对角互补：∠D + ∠B = 180° → ∠D = 80°
- 另一组对角同样互补：∠A + ∠C = 180°。四个角由两个自由度决定。
- 延伸：同一个圆里，∠A 与 ∠C 对不同的弧但互补，这正是「对角互补」的圆周角解释——两条弧加起来恰是整圆 360°，各取一半正好 180°。
∠D = 80°。圆内接四边形两组对角均互补（∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°），这是「找角」的万能钥匙。