切线的判定与性质
讲解
把上一节的「点在圆上」扩展成「整条直线与圆的关系」：还是比大小，对象换成圆心到直线的距离 d。拖动 d，亲眼看着直线从「穿过圆」到「擦一个点」再到「够不着」：
d = r 的临界状态就是切线。此刻直线与圆只有一个公共点 T，且半径 OT 与直线垂直——这不是规定，是「距离恰好等于半径」的必然结果。切线的两个定理，判定和性质，都长在这一张图上。
证切线的题目就两个套路，对应两种已知：① 直线与圆已有公共点 → 连半径，证垂直（常用等腰三角形或直径对直角）；② 没有公共点 → 从圆心作直线的垂线，证 d = r。做完下面的例题，这两个套路就长在手上了。
- 判定看「过不过半径外端、垂不垂直」；性质直接送一个 90°
- 辅助线口诀：见切点，连圆心，得垂直
- 切线长：从圆外一点引的两条切线长相等，圆心与该点连线平分夹角
现实里能做什么
雨点为什么会甩出去
自行车轮快速旋转时，沾在轮缘的泥点在脱离瞬间沿切线方向飞出——运动方向与半径垂直。高铁过弯、磨床火花、链球出手，物体脱离圆周运动的瞬间都沿切线飞出。数学里「切线 ⊥ 过切点的半径」，物理里就是「脱离瞬间的速度方向」。
知识要点
- 直线与圆：d < r 相交 / d = r 相切 / d > r 相离
- 判定：过半径外端 + 垂直于此半径 ⟹ 切线
- 性质：切线 ⟹ 垂直于过切点的半径（解题辅助线：见切点连圆心）
- 常见套路：无切点时「作垂直证 d = r」，有切点时「连半径得垂直」
典型例题（点击展开题解）
例 1PA 切 ⊙O 于点 A，PO 交 ⊙O 于点 B，PB = 2，PA = …
PA 切 ⊙O 于点 A，PO 交 ⊙O 于点 B，PB = 2，PA = 4。求 ⊙O 的半径。
- PA 是切线，A 是切点 → 连 OA，则 OA ⊥ PA（切线的性质）。设半径 r。
- 直角三角形 OAP 中，OP = OB + PB = r + 2，OA = r，PA = 4。勾股：(r + 2)² = r² + 4²
- 展开：r² + 4r + 4 = r² + 16，4r = 12，r = 3
半径为 3。套路：见切点连圆心得垂直 → 设 r 列勾股方程。注意 OP 必须写成 (r + 2)，斜边含未知数也能解。
例 2PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 为切点，∠APB = 60°，PA…
PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 为切点，∠APB = 60°，PA = 6。求 ⊙O 的半径及劣弧 AB 所对圆心角。
- 连 OA、OB。切线性质：OA ⊥ PA，OB ⊥ PB。再连 OP。
- 切线长定理：PA = PB = 6，且 OP 平分 ∠APB：∠APO = 30°
- 直角三角形 OAP 中，∠AOP = 90° − 30° = 60°：OA = PA · tan30° = 6 × (√3/3) = 2√3
- 圆心角 ∠AOB = 2∠AOP = 120°（对称：OP 是 ∠AOB 的平分线，也是图形的对称轴）。
半径 2√3，圆心角 ∠AOB = 120°。双切线图形天然对称：OP 连线平分夹角，一半就够算。