图知学堂 把知识点画出来

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证明题：判别式化成完全平方

综合型 　题型 12 / 12 　调用 3 个知识点

什么时候该想到这类题：「无论…都…」「求证」——这是证明题，不是计算题。你不需要解出根，只需要说明 Δ 永远不为负。看到「总有实数根」就该想到：把 Δ 写成完全平方。

题面信号

看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。

求证 无论 总有实数根 恒成立 参数

逆向解读：这题由哪些知识点拼成

从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。

第 1 步 · 从这开始 公式法与根的判别式 写出 Δ 的表达式，这是全部工作的起点
→
第 2 步 公式法与根的判别式 把 Δ 化简，目标是化成平方形式
→
第 3 步 含参数方程与根的讨论 说明平方恒非负，从而 Δ ≥ 0，结论成立

起点是「公式法与根的判别式」——拿到同类题，第一步就去那里想。

解题路线（固定动作，照做就行）

  1. 写出 Δ 的表达式
  2. 展开、合并，尽量化成完全平方
  3. 指出平方数恒非负
  4. 由 Δ ≥ 0 得出「总有实数根」

完整解答

完整解答已知关于 x 的方程 x² − (k + 2)x + 2k = 0，求证：无论 …
已知关于 x 的方程 x² − (k + 2)x + 2k = 0，求证：无论 k 取何值，方程总有实数根。
  1. 计算判别式：
    Δ = (k + 2)² − 8k = k² − 4k + 4
  2. 化成完全平方：
    Δ = (k − 2)²
  3. 因为对任意实数 k，(k − 2)² ≥ 0，所以 Δ ≥ 0 恒成立。
  4. 由判别式的意义，方程总有实数根（k = 2 时两根相等）。
Δ = (k − 2)² ≥ 0 恒成立，故无论 k 取何值方程都有实数根。

卡壳常卡在这

易错点　只写「Δ = k² − 4k + 4」就交卷，等于没证。必须再补一步「= (k−2)² ≥ 0」，把「恒非负」这个结论落到纸面上。

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