公式法与根的判别式
讲解
配方既然对任何一元二次方程都管用，那就干脆对一个「字母组成的」方程配一次——配出来的结果，以后所有方程都能直接套。这就是求根公式的来历，它不是什么天降神谕。
- 从 ax² + bx + c = 0 出发，两边除以 a：x² + (b/a)x + c/a = 0
- 常数项移右边：x² + (b/a)x = −c/a
- 两边加上一次项系数一半的平方，即 (b/2a)²：左边成为 (x + b/2a)²
- 右边通分整理：−c/a + b²/4a² = (b² − 4ac) / 4a²
- 于是 (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²
- 开平方并移项，得到 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
看最后那一步：根号里面的 b² − 4ac 决定了能不能开方。它就是判别式，记作 Δ。Δ 大于 0 能开出正数，产生一正一负两个值，所以两个根；Δ 等于 0 只能开出 0，两个根重合；Δ 小于 0 在实数范围内开不出来，所以没有实数根。
拖动上面的滑块，重点观察两件事：一是 c 慢慢变大时，Δ 从正变到 0 再变负，抛物线从「穿过 x 轴两次」变成「擦一下」再变成「完全在上方」；二是无论图像怎么动，两个根的横坐标之和始终等于 −b/a，乘积始终等于 c/a——这就是下一节要讲的韦达定理。
实际做题的顺序应该是：① 化成一般形式，抄准 a、b、c（带符号）；② 先算 Δ；③ Δ 小于 0 就直接写结论，不用继续；④ Δ 不为负再代公式。先算 Δ 能救回大量时间，也避免在无解的情况下白算一堆。
现实里能做什么
先判断「有没有解」，比算出解更重要
工程设计里，很多方程是「参数没定」的：这根梁多粗才够、这个预算能不能成。判别式的用法正是先回答「在这样的条件下，方程到底有没有实数解」——有解才继续优化，没解就得改条件。这是最实用的数学判断之一。
知识要点
- 求根公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Δ = b² − 4ac；Δ > 0 两个不等根，Δ = 0 两个相等根，Δ < 0 无实数根
- 用公式前必须先化成一般形式，抄准 a、b、c 的符号
- Δ < 0 不代表题目做错了，直接写「方程无实数根」就是答案
典型例题（点击展开题解）
例 1用公式法解方程：2x² − 5x + 1 = 0。
用公式法解方程：2x² − 5x + 1 = 0。
- 已经是一般形式，读出系数：a = 2，b = −5，c = 1。
- 先算判别式：Δ = (−5)² − 4 × 2 × 1 = 25 − 8 = 17
- Δ = 17 > 0，有两个不相等的实数根，可以代公式：x = (5 ± √17) / 4
x₁ = (5 + √17)/4，x₂ = (5 − √17)/4。Δ 不是完全平方数时，保留根号就是最终答案。
例 2不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) x² − 3x − 4 = 0；(…
不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) x² − 3x − 4 = 0；(2) 4x² − 12x + 9 = 0；(3) x² + 2x + 5 = 0。
- 第 (1) 题：Δ = (−3)² − 4 × 1 × (−4) = 9 + 16 = 25 > 0
- Δ > 0，有两个不相等的实数根。
- 第 (2) 题：Δ = (−12)² − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0
- Δ = 0，有两个相等的实数根。
- 第 (3) 题：Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16 < 0
- Δ < 0，方程没有实数根。
(1) 两个不等实根；(2) 两个相等实根；(3) 没有实数根。判根只需要算 Δ，不用真的解出来。