压轴：含参交点个数与面积综合
题面信号
看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。
有两个交点
只有一个交点
求 k 的取值范围
面积最大
含参数
逆向解读：这题由哪些知识点拼成
从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。
起点是「与一次函数的综合：交点与不等式」——拿到同类题，第一步就去那里想。
解题路线（固定动作，照做就行）
- 联立两函数，整理成 ax² + bx − k = 0
- 按题意用 Δ 列不等式（>0 两个交点，=0 相切，<0 无交点）
- 注意隐含条件：k ≠ 0、二次项系数 ≠ 0
- 涉及面积时，用交点坐标表示底和高，或直接用 |k|
- 最后检验端点（Δ = 0 是否算「两个交点」）
完整解答
完整解答已知反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）与一次函数 y = x + 3 的图…
已知反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）与一次函数 y = x + 3 的图象有两个交点 A、B。① 求 k 的取值范围；② 当 k = 4 时，求 A、B 两点间的距离。
- 例：y = k/x 与 y = x + 3 有两个交点 → x² + 3x − k = 0 有两不等根。Δ = 9 + 4k > 0 → k > −9/4
- 又 k ≠ 0（反比例函数要求），且两交点需在同一支还是异支？两根之积 = −k，k > 0 时异号（分居两支），k < 0 时同号。k > 0：分居两支；−9/4 < k < 0：同一支
- ② k = 4 时：x² + 3x − 4 = 0 → (x − 1)(x + 4) = 0 → x = 1 或 x = −4，对应交点 (1, 4)、(−4, −1)。A(1, 4)，B(−4, −1)
- 两点间距离：|AB| = √[(1+4)² + (4+1)²] = √(25 + 25) = 5√2 ≈ 7.07
联立 → Δ 定个数 → 韦达定位置 → 面积用坐标或 |k|；别忘了 k ≠ 0 与 x ≠ 0。
卡壳常卡在这
易错点 漏掉 k ≠ 0 的限制；把「有两个交点」直接等价于 Δ > 0 却不检验两根是否都不为 0（x = 0 不是定义域内的点）；忽略「同一支/不同支」对答案的细化。