对称性：一半算完，另一半抄

组合型　题型 08 / 9 　调用 2 个知识点

什么时候该想到这类题：题里出现正比例函数与双曲线相交、或明确说「关于原点对称」——用 (x, y) ↔ (−x, −y) 直接得另一半，不用重新联立。

题面信号

看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。

关于原点对称两个交点正比例函数中心对称

从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。

第 1 步 · 从这开始对称性：关于原点中心对称中心对称把交点、图形翻倍搬运

→

第 2 步 k 的几何意义：一块面积需要面积时用 |k| 或 |k|/2 逐块算

起点是「对称性：关于原点中心对称」——拿到同类题，第一步就去那里想。

完整解答正比例函数 y = 3x 与反比例函数 y = k/x 的图象交于 A、B 两点…

正比例函数 y = 3x 与反比例函数 y = k/x 的图象交于 A、B 两点，已知 A 的坐标为 (2, 6)。① 求 k 与点 B 的坐标；② 若点 C(4, 0)，求 △ABC 的面积。

A(2, 6) 在 y = 3x 上 ✓，代入双曲线：k = 2 × 6 = 12。
k = 12
由关于原点中心对称，另一交点：
B(−2, −6)
△ABC 三点 A(2, 6)、B(−2, −6)、C(4, 0)，用坐标面积公式：
S = ½|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
代入：
S = ½|2(−6) + (−2)(−6) + 4(12)| = ½|−12 + 12 + 48| = 24

中心对称：坐标同时取相反数；面积常可「算一半乘 2」。

易错点　对称点只变一个符号；把「正比例与双曲线的两个交点」误当成能构成三角形（实际与原点共线）。