与一次函数的综合：交点与不等式
讲解
反比例函数和一次函数放在一起考，是中考的固定节目。求交点就联立：k/x = ax + b，两边乘 x 得 ax² + bx − k = 0。这是一个一元二次方程，交点个数由 Δ = b² + 4ak 决定——和二次函数一章的判别式是同一件事。
阴影是满足 k/x > −x + b 的区域（双曲线在直线上方）。拖 b 看变化：b 大时直线高，和双曲线有两个交点，解集是被切成两段；b 小到 Δ < 0，直线彻底「躲开」双曲线，只剩负半轴那一段。图中会自动给出解集的区间——先看交点，再分段读图，比解不等式快得多。
- 求交点：联立 → 一元二次 → 解出 x → 代回求 y
- 判个数：Δ = b² + 4ak（把直线写成 y = ax + b）
- 解不等式：画出两条图象，找「谁在上方」的 x 段
- 分段原则：以交点和 x = 0 为界，逐段判断
现实里能做什么
两种模型谁更划算
手机套餐 A 是固定月租加每分钟计费（一次函数），套餐 B 是按流量阶梯反比例打折（简化成反比例）。哪个月更便宜？把两条曲线画在一起，交点就是「打平」的用量，交点两侧各有一个赢家——这正是「图象比较」在消费决策里的用法。
知识要点
- 联立后是一元二次方程：ax² + bx − k = 0，Δ 定交点个数
- Δ > 0 两个交点，Δ = 0 相切一个交点，Δ < 0 无交点
- 不等式 k/x > ax + b ⇔ 双曲线在直线上方的 x 范围
- 解集要分段看：双曲线有两支，直线把它切成几段
典型例题（点击展开题解）
例 1直线 y = −x + 5 与双曲线 y = k/x 交于 A(1, 4)、…
直线 y = −x + 5 与双曲线 y = k/x 交于 A(1, 4)、B(4, 1) 两点。① 求 k；② 求不等式 k/x > −x + 5 的解集。
- ① A 在双曲线上：k = 1 × 4 = 4
- ② 不等式 4/x > −x + 5，即双曲线在直线上方。
- 由图象：x > 0 时，两个交点把正半轴切成三段。取 x = 2 验证：4/2 = 2，−2 + 5 = 3，2 < 3 不成立；取 x = 0.5：8 > 4.5 成立；取 x = 8：0.5 > −3 成立。
- 所以 x > 0 时解集为 0 < x < 1 或 x > 4。0 < x < 1 或 x > 4
- x < 0 时，4/x < 0 而 −x + 5 > 0，不等式恒不成立。
k = 4；解集为 0 < x < 1 或 x > 4。图象法：找双曲线在直线上方的 x 段。
例 2反比例函数 y = k/x（k > 0）与直线 y = x + 3 有两个交…
反比例函数 y = k/x（k > 0）与直线 y = x + 3 有两个交点，求 k 的取值范围。
- 联立：k/x = x + 3 → x² + 3x − k = 0
- 有两个交点 ⇔ 方程有两个不相等的实数根：Δ = 9 + 4k > 0
- 由 k > 0 得 Δ > 9 > 0 恒成立，所以 k > 0 时总有两个交点。k > 0
- 再细看：k > 0 时两根之积 = −k < 0，两根异号，说明两个交点分别在两支上——这也符合图象：直线 y = x + 3 从左下到右上，必然穿过双曲线的两支。
k > 0（恒有两个交点，且分居两支）。判别式 + 韦达定理配合图象看，结论更稳。