正投影
讲解
把平行投影的投影线规定成「必须垂直于投影面」，就得到正投影——它是唯一由物体形状完全决定的投影，也是工程制图的基石。倾斜的杆，投影会缩短多少？答案上一章已经备好了。
拖动角度 θ：0° 时杆躺在投影面上，投影是全长；60° 时缩成一半多一点；90° 时竖起来，投影缩成一个点。投影长 = L·cosθ 这条公式把三种情况统一了——cos0° = 1（不变）、cos90° = 0（成点）。
- 线段正投影长 = L·cosθ（θ 为线段与投影面的夹角）
- 矩形板倾斜时：与投影面平行的边不变，垂直分量缩为 cosθ 倍 → 面积乘 cosθ
- 正投影与光源无关：影子随灯的位置变，正投影不随任何东西变
- 直线的正投影可能是线段或点；线段的正投影可能是线段或点
注意区分「影子」和「正投影」：太阳下的影子其实是近似平行投影，但通常不垂直于地面，长度还受光线角度影响；正投影强制垂直，是理想化的、标准的投影。三视图用的正是正投影，所以图纸上的尺寸是「真尺寸」或「真尺寸 × cosθ」，不掺光源的戏。
现实里能做什么
拍身份证为什么要平放
手机镜头近似做「正投影」：垂直对着证件拍，投影不变形（等长）；斜着拍，证件在画面里被压扁——压缩比例正是 cosθ。扫描软件要求正对拍摄，拍完还做透视矫正把斜投影拉回正投影，就是在帮你恢复 cosθ 缩掉的长度。
知识要点
- 正投影是平行投影的特例：光线垂直于投影面
- 线段：平行 → 原长；倾斜 → L·cosθ；垂直 → 一点
- 平面图形：平行 → 全等；倾斜 → 缩小；垂直 → 线段
- 三视图的每个视图都是物体沿一个方向的正投影
典型例题（点击展开题解）
例 1一根长 10 cm 的木棒与投影面成 30° 角，求它在投影面上的正投影长；…
一根长 10 cm 的木棒与投影面成 30° 角，求它在投影面上的正投影长；若夹角变为 60° 呢？
- 正投影长 = L·cosθ：10 × cos30° = 10 × √3/2 = 5√3 ≈ 8.66 cm
- 夹角 60° 时：10 × cos60° = 10 × 1/2 = 5 cm
- 角度越大（越接近垂直投影面），投影越短；θ = 90° 时缩成一点。cosθ 随 θ 增大而减小
30° 时 5√3 cm ≈ 8.66 cm；60° 时 5 cm。正投影长 = L·cosθ，特殊角的余弦值（上一章）直接上岗。
例 2一块矩形玻璃长 40 cm、宽 30 cm，与投影面平行放置、倾斜 45° …
一块矩形玻璃长 40 cm、宽 30 cm，与投影面平行放置、倾斜 45° 放置、垂直放置时，正投影分别是什么图形？面积各是多少？
- 平行放置：正投影与原图形全等，矩形 40 × 30：S = 1200 cm²
- 倾斜 45°（绕一条长边旋转）：平行投影面的边（40 cm）不变，垂直分量缩为 30·cos45°：投影 = 40 × 30cos45° = 40 × 15√2 ≈ 848.5 cm²
- 垂直放置：整个面与投影线平行，投影缩成一条线段（长 40 cm 的线段），面积为 0。S = 0
平行 → 全等矩形 1200 cm²；倾斜 45° → 矩形 40 × 15√2 ≈ 848.5 cm²（面积乘 cosθ）；垂直 → 线段，面积 0。面与线段遵循同一条 cosθ 律。