因式分解法
讲解
整条式子等于 0，而左边是两个东西相乘——只要有一个是 0，乘积就是 0。这个简单事实，就是因式分解法的全部原理。所以看到「乘积 = 0」的形状，应该本能地想：能不能把左边拆开？
以 x² − 5x + 6 = 0 为例，用十字相乘：把 x² 拆成 x 和 x，把 6 拆成 −2 和 −3（因为要凑出 −5），交叉相乘再相加：(−2) + (−3) = −5，正好。于是左边写成 (x − 2)(x − 3) = 0，两根是 2 和 3。
- 第一步永远是：把右边变成 0。如果题目是 x² − 5x = −6，先移项成 x² − 5x + 6 = 0
- 拆二次项：x² → x · x
- 拆常数项：+6 → (−2) × (−3)，同时要保证交叉相乘之和等于一次项系数 −5
- 写成 (x − 2)(x − 3) = 0，令每个因式为 0
- 得到 x₁ = 2，x₂ = 3
有些方程不用十字相乘，用更快的通道：x² − 5x = 0 直接提公因式 x(x − 5) = 0，两根是 0 和 5——注意，常数项为 0 的方程一定有一个根是 0，这是送分的。x² − 9 = 0 用平方差 (x − 3)(x + 3) = 0，一眼出两根。
什么时候该用因式分解、什么时候该用公式法？经验是：系数小、能在心里试出两个整数的时候，分解最快；一旦常数项很大或者带分数，别硬试，直接上公式法。硬试十字相乘浪费的时间，比多算一次 Δ 多得多。
现实里能做什么
把「难算」拆成「一眼看得出」
因式分解的思路在生活里很常见：一个复杂问题如果能拆成两个简单条件的组合，只要解决其中一个就够。物流排程里「这批货要么走空运要么走海运」，成本方程一分解，两条方案立刻分清。
知识要点
- 核心原理：A × B = 0 → A = 0 或 B = 0
- 必须先让右边等于 0，再分解——右边不是 0 就分解，等于白做
- 十字相乘：把二次项拆成两个 x，把常数项拆成两个数，交叉相乘之和等于一次项
- 提公因式、平方差、完全平方，这三种是十字相乘之外的快速通道
典型例题（点击展开题解）
例 1用因式分解法解方程：x² − 7x + 12 = 0。
用因式分解法解方程：x² − 7x + 12 = 0。
- 右边已经是 0，直接分解左边。
- 拆 x² 为 x · x，拆 12 为 (−3) × (−4)：因为 (−3) + (−4) = −7，正好等于一次项系数。x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
- 写成乘积形式：(x − 3)(x − 4) = 0
- 两个因式相乘为 0，至少一个为 0：x − 3 = 0 或 x − 4 = 0
- 解得：x₁ = 3，x₂ = 4。
x₁ = 3，x₂ = 4。留意 12 的两个因数要同号且和为负，所以都取负。
例 2解方程：x(2x − 5) = 4x − 10。
解方程：x(2x − 5) = 4x − 10。
- 先移项让右边为 0：x(2x − 5) − (4x − 10) = 0
- 注意右边 4x − 10 可以提取 2：x(2x − 5) − 2(2x − 5) = 0
- 两者都有公因式 (2x − 5)，提出来：(2x − 5)(x − 2) = 0
- 分别令因式为 0：2x − 5 = 0 → x = 5/2；x − 2 = 0 → x = 2
x₁ = 5/2，x₂ = 2。这类题的钥匙是看出两边藏着同一个整体 (2x − 5)。