顶点式 y = a(x - h)² + k
讲解
前面两节的两种平移可以同时进行：先左右、再上下。两步走完，就得到二次函数最重要的形式——顶点式 y = a(x - h)² + k：
顶点式的最大优点：图像的全部关键信息都摆在明面上。顶点 (h, k)、对称轴 x = h、最值 y = k，都是“读”出来的，不用任何计算。求最值、判断平移、分析图像位置的问题，第一步都是把函数化成顶点式。
读法总结：a 管开口（方向 + 胖瘦），h 管左右，k 管上下。上面实验里随便拖，拖出的每一组 (a, h, k) 都对应唯一一条抛物线——系数和图像是一一对应的。
顶点式的另一个常见用处是“读最值”。看喷泉：水柱从池边喷出，走的是一条抛物线，最高点就是顶点。调水压（力度）和弧度，观察水柱的最高点和落水点怎么变；再改水池半径，看水会不会溅出去——园林里定喷头和水池尺寸，算的就是这件事。
出水口固定时，水柱的式子就是 y = 0.5 + bx - ax²（常数项是出水口高度）。b 变大，水流更“冲”，最高点和射程都变大；a 变大，弯曲得更厉害，射程反而缩短。顶点式的好处在这里最明显：最高点 (b/2a, 0.5 + b²/4a) 直接从式子里读出来，不用配方。
现实里能做什么
一眼读出最优解
设计师定桥拱最高点、物流公司算最优发车时刻、工厂算最省料的尺寸——他们真正关心的往往只有一个点：最高点或最低点在哪。顶点式就是把这个点直接写进式子的写法。
知识要点
- 顶点 (h, k)，对称轴 x = h
- a 决定开口方向和宽窄，(h, k) 决定位置
- a > 0 时最小值 y = k（在 x = h 处取得）；a < 0 时最大值 y = k
典型例题（点击展开题解）
例 1说出 y = 2(x - 1)² + 3 的顶点坐标、对称轴、开口方向、最值…
说出 y = 2(x - 1)² + 3 的顶点坐标、对称轴、开口方向、最值，以及函数的增减性。
- 对照顶点式 y = a(x - h)² + k：a = 2，h = 1，k = 3。
- 顶点 (h, k) = (1, 3)，对称轴是直线 x = 1。
- a = 2 > 0，开口向上，在顶点处取得最小值 y = 3。
- 增减性以对称轴为界：x < 1 时，y 随 x 增大而减小；x > 1 时，y 随 x 增大而增大。
顶点 (1, 3)；对称轴 x = 1；开口向上；最小值 3；x < 1 递减、x > 1 递增。顶点式的好处就是这些信息一眼全有。
例 2将抛物线 y = 2x² 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，求…
将抛物线 y = 2x² 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，求所得抛物线的解析式。
- 向右移 1 个单位（右减）：x 换成 (x - 1)，得 y = 2(x - 1)²。
- 向上移 3 个单位（上加）：整体加 3，得 y = 2(x - 1)² + 3。
- 顶点跟着走：原顶点 (0, 0) → (1, 0) → (1, 3)。
y = 2(x - 1)² + 3，顶点 (1, 3)。平移时"横向写在括号里、纵向写在括号外"，两条口诀同时用。