反比例函数的概念
讲解
二次函数 y = ax² + bx + c 有三个参数，反比例函数干净得多，只有一个 k：y = k/x。它的名字就说明了关系——x 变大，y 就按同样的比例变小，乘积始终是 k。路程固定时速度与时间、面积固定时长与宽、压力固定时压强与受力面积，全是这副样子。
看动点 P：横坐标拖到 2，纵坐标是 3，乘积 6；拖到 6，纵坐标变成 1，乘积还是 6。x 与 y 的乘积恒等于 k——这就是「反比例」三个字的全部含义，也是后面所有性质（包括图象为什么是两只、为什么面积不变）的源头。
定义里有三个硬条件：k ≠ 0（k = 0 时 y = 0，图象退化成 x 轴的一部分，不再是反比例函数）；x ≠ 0（分母不能为零，所以图象永远碰不到 y 轴）；分母只能是一个 x 的一次式。
- y = 3/x ✓；xy = −5 ✓；y = 2x⁻¹ ✓（都是反比例函数）
- y = 1/(x+2) ✗（分母不是单个 x）
- y = 4/x² ✗（x 的指数是 −2，不是 −1）
- y = k/x 中若 k 未知，用一组对应值代入求 k：由 xy = k 得 k = xy
现实里能做什么
为什么骑得越快，用的时间越少
家到学校 6 km。以 3 km/h 走要 2 小时，以 6 km/h 骑要 1 小时，以 12 km/h 骑只要半小时——速度乘时间永远等于 6。写成式子就是 v = 6/t：路程固定时，速度与时间成反比例。你每天通勤的时间安排，本质上就是在这条双曲线上选一个点。
知识要点
- 定义：y = k/x，k ≠ 0，x ≠ 0
- 三种形式：y = k/x、xy = k、y = kx⁻¹，判题时都要认得出
- 分母必须是「单个 x」，分子必须是常数：y = 2/(x+1)、y = 2/x² 都不是反比例函数
- 求 k 只要一个点：把坐标代进 xy = k
典型例题（点击展开题解）
例 1下列函数中，哪些是反比例函数？① y = 3/x；② y = 1/(2x)；…
下列函数中，哪些是反比例函数？① y = 3/x；② y = 1/(2x)；③ xy = −5；④ y = 2/(x+1)；⑤ y = 4/x²；⑥ y = −x/2。
- ① y = 3/x 符合 y = k/x（k = 3），是反比例函数。
- ② y = 1/(2x) = (1/2)/x，k = 1/2，是反比例函数。y = (1/2)·(1/x)
- ③ xy = −5 即 y = −5/x，是反比例函数。
- ④ 分母是 x + 1 而不是单个 x，不是反比例函数。
- ⑤ 是 x 的 −2 次方，不是 −1 次方，不是反比例函数。
- ⑥ y = −x/2 是正比例函数（y = kx），不是反比例函数。
①②③ 是反比例函数；④⑤⑥ 不是。判断口诀：分子常数、分母单个 x 的一次式、k ≠ 0。
例 2已知 y 与 x 成反比例，且当 x = 2 时 y = −3。① 求 y …
已知 y 与 x 成反比例，且当 x = 2 时 y = −3。① 求 y 关于 x 的函数解析式；② 求当 x = −6 时 y 的值。
- 设 y = k/x（k ≠ 0）。
- 代入 x = 2, y = −3：−3 = k/2 → k = −6
- ① 解析式为：y = −6/x
- ② 代入 x = −6：y = −6/(−6) = 1
① y = −6/x；② 当 x = −6 时 y = 1。求 k 只需一组对应值：k = xy。
例 3已知函数 y = (m − 2)x^(m² − 5) 是反比例函数，求 m …
已知函数 y = (m − 2)x^(m² − 5) 是反比例函数，求 m 的值。
- 反比例函数要求 x 的指数为 −1，且系数不为 0：m² − 5 = −1，且 m − 2 ≠ 0
- 解方程 m² = 4：m = 2 或 m = −2
- 检验系数：m = 2 时 m − 2 = 0，函数变成 y = 0，舍去；m = −2 时系数 −4 ≠ 0，符合。m ≠ 2
- 此时函数为：y = −4/x
m = −2。两个条件（指数 −1、系数 ≠ 0）必须同时满足，解出的根要回代检验。