图象与性质：双曲线的两支
讲解
把 y = 6/x 列表描点：x 取 1、2、3、6 得 y 为 6、3、2、1；x 取 −1、−2、−3、−6 得 y 为 −6、−3、−2、−1。点画出来是两只分开的曲线，各自贴着一个坐标轴往下掉，永远不会真正碰到轴——这就是双曲线。
拖 k 从正到负，两支的位置会整体「翻面」：k > 0 在一、三象限，k < 0 跳到二、四象限。但两支永远关于原点对称、永远不碰坐标轴——因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0。注意 k 的绝对值越大，曲线离原点越远；|k| 越小，曲线越贴着原点。
增减性是本章最容易踩坑的地方。k > 0 时，在第一象限那一支上，x 从 1 增到 6，y 从 6 减到 1——y 随 x 增大而减小，这部分好理解。但不能说「在整个定义域上 y 随 x 增大而减小」：取 x = −1 时 y = −6，x = 1 时 y = 6，x 变大了 y 也变大了。所以教材强调「在每一支上」。
- 看 k 的符号定象限，看 |k| 定离原点的远近
- 比较两个点的大小：先看是否在同一支上，同支用增减性；不同支直接比 y 的正负
- 图象与坐标轴无交点，画图时用虚线提示渐近
现实里能做什么
空调功率与房间面积
同一台空调的制冷量固定，房间面积越大，单位面积得到的冷量越少。把「每平方米冷量」记作 y、面积记作 x，就是一条 k > 0 的双曲线第一象限分支：面积翻倍，冷量密度减半。选空调时算的「每平米需要多少瓦」，就是在这条曲线上取点。
知识要点
- 图象是双曲线，两支；与 x 轴、y 轴都不相交（无限接近）
- k > 0：一、三象限，每支上 y 随 x 增大而减小
- k < 0：二、四象限，每支上 y 随 x 增大而增大
- 「每一支上」是关键词：不能跨支比较大小，因为图象不连续
典型例题（点击展开题解）
例 1反比例函数 y = −3/x 的图象位于哪些象限？在每个象限内，y 随 x …
反比例函数 y = −3/x 的图象位于哪些象限？在每个象限内，y 随 x 的增大怎样变化？图象经过点 (1, −3) 吗？
- k = −3 < 0，图象位于第二、四象限。
- k < 0 时，在每一支上 y 随 x 的增大而增大。
- 检验点 (1, −3)：xy = 1 × (−3) = −3 = k，因此在图象上。xy = −3 ✓
二、四象限；每一支上 y 随 x 增大而增大；点 (1, −3) 在图象上。
例 2已知点 A(−3, y₁)、B(−1, y₂)、C(2, y₃) 都在反比例…
已知点 A(−3, y₁)、B(−1, y₂)、C(2, y₃) 都在反比例函数 y = 6/x 的图象上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。
- 直接代入最稳：x = −3 → y₁ = −2；x = −1 → y₂ = −6；x = 2 → y₃ = 3。y₁ = −2，y₂ = −6，y₃ = 3
- 比较大小：负数小于正数，两个负数中 −6 < −2。y₂ < y₁ < y₃
- 用性质验证：A、B 同在第三象限那一支，k > 0 时 y 随 x 增大而减小，x 从 −3 增到 −1，y 从 −2 减到 −6，符合；C 在第一象限，y > 0，显然最大。
y₂ < y₁ < y₃。跨支比较时不能套增减性，先比值再比正负。