对称性：关于原点中心对称
讲解
把点 (2, 3) 绕原点旋转 180°，得到 (−2, −3)；这两个点都在 y = 6/x 上。事实上整条曲线绕原点转 180° 后与自己完全重合——这就是中心对称。所以两支的形状一模一样，只是位置相对。
把 k 拖成负数，两支跑到第二、四象限，但对称性一条不少：仍然关于原点中心对称，仍然关于 y = x、y = −x 轴对称。这条性质在解题时特别省事——正比例函数 y = ax 与双曲线 y = k/x 若有一个交点 (x₀, y₀)，另一个交点必然是 (−x₀, −y₀)，不用重新联立方程。
- 判断对称点是否在图象上：把坐标取相反数代入验证 xy = k
- 两个交点关于原点对称 → 坐标互为相反数
- 求「两个交点与原点围成的三角形面积」时，用对称性可把面积算成 2 倍
现实里能做什么
对称性在测量中的省力用法
工程上测一条对称曲线，往往只测一半，另一半用对称性补齐——双曲线关于原点中心对称，意味着只要确定第一象限那一支，第三象限的形状自动确定。地图上的等压线、光学里的双曲面镜，都是靠这条对称性把「测一半、算一半」变成标准做法。
知识要点
- 关于原点中心对称：(x, y) 与 (−x, −y) 同时在图象上
- 关于直线 y = x、y = −x 轴对称（k 的倒数关系）
- 正比例函数 y = ax 与 y = k/x 的两个交点关于原点对称
- 对称性常用来「由一半求另一半」，省去重复计算
典型例题（点击展开题解）
例 1正比例函数 y = 2x 与反比例函数 y = k/x 的图象交于 A、B …
正比例函数 y = 2x 与反比例函数 y = k/x 的图象交于 A、B 两点，且 A 的横坐标为 2。① 求 k 的值与点 B 的坐标；② 若点 C(0, 4)，求 △ABC 的面积。
- A 在直线 y = 2x 上且 x = 2，所以 A(2, 4)。A(2, 4)
- ① A 在双曲线上：k = 2 × 4 = 8
- 两个交点关于原点中心对称，坐标同时取相反数：B(−2, −4)
- ② 用坐标面积公式（三点不共线时）：S = ½|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
- 代入 A(2, 4)、B(−2, −4)、C(0, 4)：S = ½|2(−8) + (−2)(0) + 0| = ½ × 16 = 8
① k = 8，B(−2, −4)；② △ABC 的面积为 8。