一次函数的概念
讲解
先明确「一次」是什么意思：式子里 x 的最高次数是 1，y 随 x 均匀变化。y = 2x + 3 是一次函数；y = x² + 1 不是（二次）；y = 1/x 不是（x 在分母上）；y = 5 也不是（k = 0 退化成常函数）。
b 的含义很具体：当 x = 0 时 y = b，所以 b 是「起点值」。出租车起步价、月租、初始高度，都是 b。k 则是「每单位的变化量」：每分钟话费、每公里油耗、每秒速度。抓住「起点 + 每单位增量」这两个词，现实里的线性关系基本一眼能认出来。
- 判断一次函数的三个条件：整式、x 次数为 1、k ≠ 0
- 含参题：y = (m−2)x + 3 是一次函数 ⇒ m ≠ 2；是正比例函数 ⇒ m ≠ 2 且常数项为 0
- y = kx 与 y = kx + b 的关系：后者是前者上下平移 |b| 个单位
现实里能做什么
话费套餐就是一条直线
月租 18 元 + 每分钟 0.1 元，一个月的话费 y = 0.1x + 18——这是标准的一次函数：b = 18 是你的「固定成本」，k = 0.1 是「每多打一分钟多花多少」。看懂这个式子，你就能一眼判断两套套餐哪个划算：斜率小的套餐打得越多越省。
知识要点
- 一次函数：y = kx + b，其中 k、b 是常数，且 k ≠ 0
- k = 0 时 y = b 是常函数，不是一次函数（这是最容易漏的条件）
- 正比例函数：y = kx（b = 0 的一次函数），图象过原点
- 自变量 x 的次数必须是 1，不能出现 x²、1/x、√x
典型例题（点击展开题解）
例 1下列函数中哪些是一次函数？① y = 2x − 3 ② y = 5/x ③ …
下列函数中哪些是一次函数？① y = 2x − 3 ② y = 5/x ③ y = x² + 1 ④ y = 4 ⑤ y = (m−1)x + 2（m ≠ 1）
- ① 形如 y = kx + b，k = 2 ≠ 0，是一次函数（也是 y = 2x − 3 的标准形式）。
- ② x 在分母上，不符合 y = kx + b 的整式形式，不是。
- ③ x 次数为 2，二次函数，不是。
- ④ y = 4 相当于 k = 0，是常函数，不是一次函数。
- ⑤ m ≠ 1 保证 k ≠ 0，是一次函数。
① 和 ⑤ 是一次函数。判断三条：整式、x 次数为 1、k ≠ 0。
例 2已知 y = (m − 2)x + m² − 4。① 当 m 为何值时它是一…
已知 y = (m − 2)x + m² − 4。① 当 m 为何值时它是一次函数？② 当 m 为何值时它是正比例函数？
- ① 一次函数只要求 k ≠ 0：m − 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2
- ② 正比例函数要求 k ≠ 0 且 b = 0：m ≠ 2 且 m² − 4 = 0
- 由 m² = 4 得 m = ±2，结合 m ≠ 2 排除 2：m = −2
- 检验：m = −2 时 y = −4x，是正比例函数 ✓
① m ≠ 2；② m = −2。含参题一定要先写 k ≠ 0，再处理 b = 0——漏掉 k ≠ 0 是丢分主因。