勾股定理的逆定理
讲解
勾股定理说「直角 → 平方和相等」，逆定理反过来说「平方和相等 → 直角」。判定时盯住最大边：两短边的平方和与最长边的平方比大小。下面的实验台把三边都做成滑块——把 c 拖到 √(a²+b²) 附近时 ∠C 正好卡在 90°，再拉长一点点，角立刻变钝、顶点塌下去。
逆定理解题的流程：① 找出最大边（设为 c）；② 算两个数：a²+b² 和 c²；③ 比大小下结论。一定要写清「因为 a²+b²=c²，所以 ∠C=90°」的推理，直接说「是直角三角形」不给推理分。
- 3,4,5 → 直角；6,8,10 → 直角（同乘 2）；5,12,13 → 直角
- 4,5,6 → 4²+5²=41 < 36？注意：最大边是 6，比较 4²+5²=41 与 6²=36，41>36 → 锐角三角形
- 4,5,7 → 4²+5²=41 < 49 → 钝角三角形
现实里能做什么
机器人导航与土地测量
无人机测得飞了 300 m 再转个弯飞 400 m，如果落点与出发点直线距离正好 500 m，飞行员就知道第二个航段转的是直角（3-4-5 的 100 倍）。考古学家复原古埃及土地时也用同样的思路：绳子上打 12 个等距结，围成 3-4-5 的三角形，就得到一个标准直角。
知识要点
- 逆定理：a² + b² = c²（c 为最长边）⇒ ∠C = 90°
- 比较对象是「最大边的平方」与「另两边的平方和」
- 两短边平方和 > 长边平方 → 锐角三角形；= → 直角；< → 钝角
- 勾股数：满足 a²+b²=c² 的正整数组，判定前先想到它们
典型例题（点击展开题解）
例 1已知三角形三边分别为 7、24、25。判断它是不是直角三角形。
已知三角形三边分别为 7、24、25。判断它是不是直角三角形。
- 最大边是 25，计算两组数：7² + 24² = 49 + 576 = 625
- 比较：25² = 625
- 相等，由勾股定理逆定理：是直角三角形，最大边 25 所对的角为 90°。
是直角三角形（7-24-25 是勾股数）。书写时必须写「∵ a²+b²=c² ∴ △ABC 是直角三角形」的推理过程。
例 2三角形三边为 4、5、6。它是锐角、直角还是钝角三角形？若是 4、5、7 呢…
三角形三边为 4、5、6。它是锐角、直角还是钝角三角形？若是 4、5、7 呢？
- 4,5,6：最大边 6。4² + 5² = 41，6² = 36
- 41 > 36：两短边平方和更大 → 锐角三角形。
- 4,5,7：最大边 7。4² + 5² = 41，7² = 49
- 41 < 49 → 钝角三角形（钝角对最大边）。
4、5、6 是锐角三角形；4、5、7 是钝角三角形。口诀：大于锐、等于直、小于钝（比较的是两短边平方和与最大边平方）。
例 3三角形三边为 k、2k、√5·k（k > 0）。判断其形状。
三角形三边为 k、2k、√5·k（k > 0）。判断其形状。
- √5·k 最大（√5 ≈ 2.24 > 2）。计算：k² + (2k)² = 5k²
- 最大边平方：(√5·k)² = 5k²
- 相等 → 直角三角形。k 的具体值不影响形状（相似放大缩小）。
直角三角形，√5·k 所对的角是直角。含参数时先比较大小（带系数比），再把参数平方——k² 会同时出现在两边被约掉。