勾股定理：a² + b² = c²
讲解
先看图说话：以直角三角形的三条边为边长，各向外作一个正方形。无论你怎么拖动两条直角边，两个小正方形的面积加起来，永远等于大正方形的面积。把「面积相等」翻译成长度语言，就是 a² + b² = c²。
再看中国古代的证明——赵爽弦图。大正方形的边长是斜边 c，里面装着 4 个全等的直角三角形和一个小正方形。用两种方式数大正方形的面积，就得到了勾股定理。这个证明诞生于约公元 3 世纪，比西方同类证明更简洁，2002 年北京国际数学家大会的会标就是它。
使用定理时最容易犯的错是「忘了谁是斜边」：斜边是直角所对的那条边，永远最长。式子 c² = a² + b² 里 c 单独站在平方和中较长的那一边——求斜边用加法，求直角边用减法，方向别搞反。
- 已知两直角边求斜边：c = √(a²+b²)
- 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边：b = √(c²−a²)
- 常见勾股数（同乘 k 仍是勾股数）：3,4,5 / 5,12,13 / 6,8,10 / 7,24,25 / 8,15,17 / 9,40,41
现实里能做什么
工人放线验墙角
装修工人不用水平仪也能验墙角是不是直角：从墙角沿两面墙各量 3 米和 4 米做个记号，再量两个记号之间的距离——正好 5 米，墙角就是直角；差一点，墙就歪了。3-4-5 这组数（以及它的任意倍数 6-8-10、9-12-15）是木工和工地传了几千年的「直角尺」。
知识要点
- 直角三角形中：∠C = 90° 时，a² + b² = c²（a、b 为直角边，c 为斜边）
- 本质是面积关系：两直角边上的正方形面积之和 = 斜边上的正方形面积
- 变形：c = √(a²+b²)（求斜边），a = √(c²−b²)（求直角边）
- 只有直角三角形才有勾股定理，斜边一定是最长边
典型例题（点击展开题解）
例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。已知 a = 6，b = 8，求 c…
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。已知 a = 6，b = 8，求 c。
- ∠C = 90°，c 是斜边，用加法式：c² = a² + b²
- 代入：c² = 36 + 64 = 100
- 开方（边长取正）：c = 10
- 6-8-10 是 3-4-5 的 2 倍，勾股数直接看出答案可验算。
c = 10
例 2在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。已知 c = 13，a = 5，求 …
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。已知 c = 13，a = 5，求 b。
- b 是直角边，用减法式：b² = c² − a²
- 代入：b² = 169 − 25 = 144
- 开方：b = 12
b = 12（5-12-13 是母勾股数，见到 5 和 13 应条件反射）