用勾股定理计算：知二求一
讲解
勾股定理的直接用途是「知二求一」。拖动下面实验台的两个滑块：左边是已知的直角边 a，右边是已知的斜边 c，第三条边实时算出来，还会自动做勾股自检。注意看：当 c 只比 a 大一点点时，b 很小——三角形被压得很扁；c 拉大，b 跟着变长。
计算题的完整步骤是三步：① 确认直角在哪里（没有直角要作高构造）；② 认出斜边；③ 选式子代入。特别提醒：如果结果是 √3、√5 这类无理数，题目没要求近似就保留根号，别自己四舍五入丢分。
- 整点勾股数要背：3,4,5 / 5,12,13 / 7,24,25 / 8,15,17
- 含根号的经典结果：直角边 1、1 → 斜边 √2；直角边 1、√3 → 斜边 2
- 折叠问题的桥梁：折痕两侧全等 → 设未知数、在另一个直角三角形里用勾股定理列方程
现实里能做什么
量一下屏幕对角线
手机、电视说的「6.7 英寸」「65 英寸」都是屏幕对角线的长。用勾股定理可以自己算：屏幕宽 14 cm、高 31 cm，对角线 = √(14²+31²) ≈ 34 cm。买电视时量墙面宽度和高度，用勾股定理反推能放下多大的对角线，就不怕被「英尺英寸」绕晕。
知识要点
- 求斜边：c = √(a²+b²)，结果是两直角边平方和的算术平方根
- 求直角边：a = √(c²−b²)，结果是平方差的算术平方根
- 结果含根号时保留根号（精确值），应用题按题目要求取近似值
- 等腰三角形、折叠问题里常常要先构造或找到直角三角形
典型例题（点击展开题解）
例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = b = 1。求 c。
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = b = 1。求 c。
- 等腰直角三角形，斜边：c = √(a²+b²) = √(1+1) = √2
- √2 是无理数，没有题目要求就保留根号，不要写成 1.414。
- 顺带记住：等腰直角三角形三边比恒为 1 : 1 : √2。
c = √2
例 2矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8（AB 为长边）。沿 AE …
矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8（AB 为长边）。沿 AE 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边上的点 F 处。求 CE 的长。
- 折叠 ⇒ △ABE ≌ △AFE，对应边相等：AF = AB = 10，EF = EB
- 在 Rt△ADF 中（∠D = 90°），AD = BC = 8，AF = 10：DF = √(10² − 8²) = √36 = 6
- CD = AB = 10，所以：CF = CD − DF = 10 − 6 = 4
- 设 CE = x，则 EB = BC − CE = 8 − x，且 EF = EB = 8 − x。在 Rt△ECF 中（∠C = 90°）：x² + 4² = (8 − x)²
- 展开：x² + 16 = 64 − 16x + x²，即 16x = 48。x = 3
- 验算：CE = 3，EB = 5，EF = 5 = EB ✓，且 3² + 4² = 5² ✓（3-4-5）。
CE = 3。折叠题通法：折叠即全等（AF=AB、EF=EB）→ 设 CE = x → 把 EF、CF 都用 x 表示 → 在含 x 的直角三角形里用勾股列方程。
例 3等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10。求底边上的…
等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10。求底边上的高 AD 与面积。
- 三线合一：AD 既是高也是中线，BD = 5。BD = CD = 5
- Rt△ABD 中：AD = √(13² − 5²) = √144 = 12
- 面积：S = ½ × 10 × 12 = 60
AD = 12，S = 60。「等腰 + 底边」的题几乎都要作底边上的高，用三线合一得到两个全等直角三角形，再勾股。13-12-5 恰是 5-12-13 的应用。