二次函数与一元二次方程
讲解
代数和几何在这里接上了头。令 y = 0，二次函数就变成方程 ax² + bx + c = 0；“解方程”和“找抛物线与 x 轴的交点”是同一件事的两种说法。在下面的实验里拖动 c（常数项），把整条抛物线往上或往下推，看它与 x 轴的交点个数怎么变：
规律：Δ = b² - 4ac > 0 时方程有两个不相等的根，抛物线穿过 x 轴两次；Δ = 0 时两个根重合，抛物线恰好“碰”一下 x 轴（相切）；Δ < 0 时方程无实根，抛物线整个悬在 x 轴上方（或下方），与 x 轴没有交点。反过来，如果已知抛物线与 x 轴交于 x₁ 和 x₂，可以直接写出第三种表达形式——交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)，它是待定系数法里最省力的设式方式（见下一节）。
现实里能做什么
盈亏平衡点
开店最常算的一个数：卖多少件才不亏。收入 = 成本，移项就是方程，解出来的根就是盈亏平衡点，在图上它就是曲线与横轴的交点。
知识要点
- 抛物线与 x 轴交点的横坐标 = 对应方程的根
- Δ > 0：两个交点；Δ = 0：一个交点；Δ < 0：无交点
- 交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂) 是二次函数的第三种表达形式
典型例题（点击展开题解）
例 1求抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴的交点坐标。
求抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴的交点坐标。
- 与 x 轴相交意味着 y = 0，解方程：x² - 2x - 3 = 0
- 因式分解：(x - 3)(x + 1) = 0
- 解得 x₁ = 3，x₂ = -1。
- 交点的纵坐标是 0，所以交点为 (3, 0) 和 (-1, 0)。
交点为 (3, 0) 和 (-1, 0)。"函数的根"与"图像交点"是同一件事的代数与几何两种说法。可在演示里把 b = -2、c = -3 调出来对照。
例 2已知抛物线 y = x² + bx + 4 与 x 轴只有一个公共点，求 b…
已知抛物线 y = x² + bx + 4 与 x 轴只有一个公共点，求 b 的值。
- "与 x 轴只有一个公共点"翻译成代数语言：方程 x² + bx + 4 = 0 有两个相等的实数根，即 Δ = 0。
- 写判别式：Δ = b² - 4 × 1 × 4 = b² - 16
- 令 Δ = 0：b² = 16，解得 b = ±4。
b = 4 或 b = -4。几何条件（交点个数）与代数条件（判别式符号）的互相翻译，是这类题的核心。