二次根式与双重非负性
讲解
拖动下面的滑块改变 a，注意三个式子的红绿状态和数轴下方的三条色带——色带就是它们各自的定义域区间。√a 要求 a ≥ 0；√(a−2) 要求 a ≥ 2；√(2−a) 要求 a ≤ 2。绿色表示「现在有意义」，红色表示「现在无意义」。
「双重非负性」的第二个「非负」经常被忽略：√a 表示 a 的算术平方根，按定义它 ≥ 0。所以 √4 = 2 而不是 ±2——这一点和「4 的平方根是 ±2」完全不同：问「平方根」有两个答案，写符号 √ 的「算术平方根」只有一个非负答案。
- 求取值范围：令每个被开方数 ≥ 0，解不等式
- 多个条件同时满足取交集；互为相反数的两个被开方数同时有意义时，解只能是 0
- 「√a + √(−a) + b = 5」型：由非负性夹出 a = 0，再解出 b
- 分母里含根式时，除了被开方数非负还要分母 ≠ 0（如 1/√x 要求 x > 0）
现实里能做什么
为什么「负数开平方」在实数里不允许
在实数范围内，任何数的平方都不小于 0，所以「哪个数平方等于 −4」没有答案——这就是 √(−4) 无意义的原因。要到高中学了虚数，才给负数开平方找到新家。工程和物理里被开方数常常是「距离的平方」「面积的数值」，天然非负，所以二次根式一出场就是「算长度、算距离」的工具。
知识要点
- 定义：形如 √a（a ≥ 0）的式子叫做二次根式，「√」称为二次根号
- 有意义的条件：被开方数非负。√(a−2) 有意义 ⟺ a − 2 ≥ 0
- 双重非负性：a ≥ 0 且 √a ≥ 0，两个都是非负数
- 含根式的代数式有意义，需要每个被开方数都非负（若是分母还要分母不为零）
- 经典结论：若 √(a−2) 与 √(2−a) 同时有意义，则 a = 2（两个条件夹出唯一解）
- 若 √x + √(−x) 有意义，则 x = 0——被开方数互为相反数时解唯一
典型例题（点击展开题解）
例 1x 为何值时，下列式子有意义？（1）√(x−2)；（2）√(2−x)；（3）…
x 为何值时，下列式子有意义？（1）√(x−2)；（2）√(2−x)；（3）√(x−2) + √(2−x)。
- （1）被开方数非负。x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
- （2）同理。2 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
- （3）两个根式都要有意义，取交集。x ≥ 2 且 x ≤ 2 ⇒ x = 2
- 互为相反数的两个被开方数同时有意义，解只能使它们同时为零。
（1）x ≥ 2；（2）x ≤ 2；（3）x = 2
例 2已知 √(a−2) + √(2−a) + b = 3，求 a + b 的值。
已知 √(a−2) + √(2−a) + b = 3，求 a + b 的值。
- 两个被开方数互为相反数且都非负。a − 2 ≥ 0 且 2 − a ≥ 0
- 夹出唯一解。a = 2
- 代回原式，两个根式都等于 0。0 + 0 + b = 3 ⇒ b = 3
- 求和。a + b = 2 + 3 = 5
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