两个重要性质
讲解
两个性质长得像双胞胎，实验台把它们并排放：拖动 a 从正拖到负，左栏 (√a)² 在 a 变负的一瞬间变成「无意义」，而右栏 √(a²) 始终等于 |a|，永远有意义。数轴上 a 和 |a| 的两个点关于原点对称——这就是绝对值的几何意义。
为什么性质②要加绝对值？因为开方出来的结果必须非负（双重非负性里的第二条）。a² 本身非负，√(a²) 一定等于「a 的绝对值」。考试陷阱几乎都出在这里：题目说 a < 0，化简 √(a²)，答案必须写 −a（因为 −a > 0），写 a 就错了。
- (√5)² = 5；√(5²) = 5——a 正数时两者相等，所以容易记混
- √((−5)²) = √25 = 5（不是 −5）——先算平方再开方
- 已知 a < 0，√(a²) = −a——负数的绝对值是它的相反数
- 化简 √(a²b)：先写 |a|√b，再按 a 的符号去绝对值
现实里能做什么
手机里的「平方再开方」为什么是取绝对值
编程里常用「平方再开方」算距离（两点间距离），负的坐标平方后变正，开方后天然非负——这正是 √(a²) = |a| 的体现。反过来，如果你在代码里写 √a 而忘了判断 a ≥ 0，程序就会报 NaN 错误——「被开方数非负」是数学规则，也是程序里的真实约束。
知识要点
- 性质①：(√a)² = a（a ≥ 0）——先开方再平方，负号没机会出现
- 性质②：√(a²) = |a|——先平方再开方，负号被平方吃掉，开出来必须非负
- 性质①的使用前提是 a ≥ 0；性质②对一切实数成立
- 记忆：从右往左，√a² 的结果一定是非负的，a ≥ 0 时写 a，a < 0 时写 −a
- 联系勾股定理：c² = a² + b²，则 c = √(a² + b²)（c 是长度，天然非负）
- 这两个性质是化简 √(a²b) 的基础（结合 a、b 的符号讨论）
典型例题（点击展开题解）
例 1化简：（1）(√5)²；（2）√((−5)²)；（3）√(a²)（a < 0…
化简：（1）(√5)²；（2）√((−5)²)；（3）√(a²)（a < 0）。
- （1）先开方后平方，a ≥ 0 时直接还原。(√5)² = 5
- （2）先平方后开方，结果非负。√((−5)²) = √25 = 5
- （3）√(a²) = |a|，a < 0 时绝对值等于相反数。√(a²) = −a
- 注意（2）和（3）都用了「先平方再开方 = 绝对值」这条性质，负号都被平方吃掉了。
（1）5；（2）5；（3）−a