估算与大小比较
讲解
拖动 n，看 √n（红点）在数轴上的位置：它永远落在 k 和 k+1 之间，其中 k² 和 (k+1)² 是把 n 夹在中间的两个完全平方数。绿色的区间框就是「夹逼」的范围。验证行显示 (√n)² 恰好回到 n。
估算有两个考试用法：一是填空「√20 的整数部分是 4、小数部分是 √20 − 4」；二是比较大小——比较 √10 与 3.2，把 3.2 平方得 10.24，大于 10，所以 √10 < 3.2。比较 3√2 与 2√3 则两边同时平方，18 > 12，所以 3√2 > 2√3。
- √n 的整数部分 = 使 k² ≤ n 的最大整数 k
- 小数部分 = √n − 整数部分（它是一个无理数）
- 比较 a√b 与 c√d：都化成 √(a²b) 与 √(c²d) 再比被开方数
- 常考的近似值：√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236，√10 ≈ 3.162
现实里能做什么
不用计算器也能报告 √5 的位置
工地放线、裁剪材料时经常遇到 √2、√5 这样的长度，不需要精确值，只要知道「它在 2 和 3 之间，约 2.2 米」就能干活。古巴比伦人早就会用夹逼法开平方，他们把 √2 算到小数点后四位——用的正是这套「试平方、逐步逼近」的办法，比微积分早了三千多年。
知识要点
- 夹逼法：找两个相邻的完全平方数 k² < n < (k+1)²，则 k < √n < k+1
- 依据：平方运算在正数范围内是单调递增的，平方夹住了，根也就夹住了
- 继续夹逼到小数位：试 3.1²、3.2²……每多试一位，精确一位
- 比较两个根式大小：被开方数大的大（如 √7 > √5）
- 系数不同时先平方或统一形式：3√2 与 2√3 比较，平方得 18 与 12
- 与有理数比较：√10 与 3.2 比较，算 3.2² = 10.24 > 10，得 √10 < 3.2
典型例题（点击展开题解）
例 1（1）估计 √10 介于哪两个整数之间；（2）比较 √10 与 3.2 的大…
（1）估计 √10 介于哪两个整数之间；（2）比较 √10 与 3.2 的大小。
- （1）找相邻的完全平方数。9 < 10 < 100 ⇒ 3 < √10 < 4
- 继续夹到一位小数：3.1² = 9.61，3.2² = 10.24。3.1 < √10 < 3.2
- （2）把 3.2 平方与 10 比。3.2² = 10.24 > 10 ⇒ √10 < 3.2
- 比较根式与有理数：把有理数平方，与被开方数比。
（1）3 < √10 < 4；（2）√10 < 3.2
例 2计算：（1）（√5 + 1）（√5 − 1）；（2）（√3 − 2）²。
计算：（1）（√5 + 1）（√5 − 1）；（2）（√3 − 2）²。
- （1）平方差公式 (a+b)(a−b) = a² − b²。(√5)² − 1² = 5 − 1 = 4
- （2）完全平方公式 (a−b)² = a² − 2ab + b²。3 − 4√3 + 4 = 7 − 4√3
- 整式的乘法公式对根式照样适用，把 √5、√3 当成一个字母即可。
- 检验（2）：(√3−2)² ≈ (1.732−2)² ≈ 0.072，而 7 − 4√3 ≈ 7 − 6.928 ≈ 0.072 ✓。
（1）4；（2）7 − 4√3
例 3比较 3√2 与 2√3 的大小。
比较 3√2 与 2√3 的大小。
- 两个都是正数，可以平方后比较。(3√2)² = 9 × 2 = 18
- 另一边。(2√3)² = 4 × 3 = 12
- 平方大则原数大。18 > 12 ⇒ 3√2 > 2√3
- 也可以统一形式：3√2 = √18，2√3 = √12，被开方数大的大。
3√2 > 2√3