乘方与混合运算
讲解
乘方是<b>自己乘自己的缩写</b>：(−2)³ = (−2)(−2)(−2)。符号不用逐个乘——底数为负时，<b>指数是奇数结果为负，偶数结果为正</b>；底数为正时永远为正。特别小心书写：(−2)⁴ 和 −2⁴ 是两个不同的数，括号决定负号有没有参与乘方。
混合运算的顺序口诀：<b>先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号</b>。到这一步，有理数的四则与乘方就齐了——它是一切代数式求值、方程求解的底层算力，后面每章都在用它。
现实里能做什么
折纸 42 次能到月球吗
一张纸厚 0.1 mm，对折一次厚 0.2，对折两次 0.4……对折 n 次厚度是 0.1 × 2ⁿ mm。对折 42 次：0.1 × 2⁴² mm ≈ 4.4 × 10⁸ m ≈ 44 万公里——超过地月距离（约 38 万公里）。乘方的增长速度远超直觉，这就是为什么复利、病毒传播、人口增长都用指数模型描述。
知识要点
- aⁿ = a·a·…·a（n 个 a），a 是底数、n 是指数；a² 读作 a 的平方
- 负数的奇次幂为负、偶次幂为正；正数任何次幂都是正；0 的任何正整数次幂为 0
- 区分 (−2)⁴ = 16 与 −2⁴ = −16：括号决定负号是否参与乘方
- 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内
典型例题（点击展开题解）
例 1计算：(−3)²、−3²、(−2)³、(−1)¹⁰¹。
计算：(−3)²、−3²、(−2)³、(−1)¹⁰¹。
- (−3)²：负底数偶次幂 → 正：= 9
- −3²：先乘方再取负 →= −9
- (−2)³：负底数奇次幂 → 负：= −8
- (−1)¹⁰¹：奇次幂 →= −1
- (−1)ⁿ 是常用结论：n 偶为 1，n 奇为 −1。
9；−9；−8；−1
例 2计算：−2² + (−3)² × 2 − (−4) ÷ (−2)。
计算：−2² + (−3)² × 2 − (−4) ÷ (−2)。
- 先乘方：−2² = −4（注意负号在外），(−3)² = 9。−4 + 9 × 2 − (−4) ÷ (−2)
- 再乘除：9 × 2 = 18；(−4) ÷ (−2) = 2（同号得正）。−4 + 18 − 2
- 后加减：= 12
- 三个易错点全在这题：−2² 的负号位置、乘方优先、除法同号得正。
12