比例线段与相似多边形
讲解
相似研究的是「形状」。全等三角形要求三对边都相等——像复印机；相似三角形只要求形状一样——像照片缩放。衡量「缩放了多少」的就是相似比 k。这一章先从最著名的比例——黄金分割——找手感。
拖动分割点，观察两个比值：AC/AB 在涨，CB/AC 在跌，两者恰好相等的那个位置就是黄金分割点。它满足 x/L = (L−x)/x，整理是一个一元二次方程——第二章的知识在这里回归。
- 比例的基本性质：a/b = c/d ⇔ ad = bc（交叉相乘，比例题的第一反应）
- 合比性质：a/b = c/d ⇒ (a+b)/b = (c+d)/d
- 相似比 k > 1 放大，k < 1 缩小，k = 1 退化为全等
- 对应角相等、对应边成比例——判定两个多边形相似，两条都要验
注意「相似」比「三个角相等」要求更多：所有矩形四个角都是 90°，但 2×3 的矩形和 1×3 的矩形不相似，因为边不成比例；反过来，所有正方形都相似，因为角相等且边恒成比例。角管形状、比例管形状，两个条件锁死一个图形。
现实里能做什么
身份证照片为什么不能随便裁
证件照的规格是「形状」，不是「尺寸」：1 寸、2 寸照片大小不同，但长宽比都必须是 25 : 35——这就是相似比。随便把照片拉宽压扁，人像就变形了，因为拉宽只改了一个方向的比例，破坏了「对应边成比例」。屏幕的 16 : 9、A4 纸对折还是 A 系列、标准名片，全是相似形在管着日常生活的形状。
知识要点
- 成比例有顺序：a/b = c/d 中 a、d 是比例外项，b、c 是比例内项，写成 a : b = c : d 时不能随便换位
- 相似比 k 有方向：△ABC ∽ △A′B′C′ 指 AB/A′B′ = k，说反了 k 就变成 1/k
- 相似多边形必须同时满足两个条件：对应角相等 + 对应边成比例，缺一不可（等角的菱形和正方形就不相似）
- 黄金比 φ = (√5−1)/2 ≈ 0.618：把线段分成两段，较长段/全长 = 较短段/较长段
典型例题（点击展开题解）
例 1已知线段 AB = 10，点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > CB），…
已知线段 AB = 10，点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > CB），求 AC、CB 的长（结果保留根号）。点 C 满足什么比例关系？
- 黄金分割的定义：较长段与全长之比等于较短段与较长段之比。AC/AB = CB/AC
- 设 AC = x（x > 0），则 CB = 10 − x，代入：x/10 = (10 − x)/x
- 交叉相乘整理成一元二次方程：x² + 10x − 100 = 0
- 用求根公式（取正根）：x = (−10 + √500)/2 = 5√5 − 5 ≈ 6.18
- 另一段：CB = 10 − (5√5 − 5) = 15 − 5√5 ≈ 3.82。验证：AC/AB = (5√5 − 5)/10 = (√5 − 1)/2 ≈ 0.618 ✓
AC = 5√5 − 5 ≈ 6.18，CB = 15 − 5√5 ≈ 3.82。点 C 满足 AC² = AB·CB（较长段是全长与较短段的比例中项）。
例 2两个五边形相似，相似比为 2 : 3。已知小五边形的最长边为 6 cm、最大…
两个五边形相似，相似比为 2 : 3。已知小五边形的最长边为 6 cm、最大内角为 120°，求大五边形的最长边，以及大五边形的最大内角。
- 相似多边形对应边成比例，对应角相等。k = 2/3（小 : 大）
- 大五边形最长边 = 小的 ÷ k：6 ÷ (2/3) = 9 cm
- 对应角相等，所以大五边形最大内角：120°
大五边形最长边 9 cm，最大内角 120°。角不受相似比影响——缩放的只有长度。