平行线分线段成比例
讲解
把尺子横着放在三角形里，就出现了本章出场率最高的图形：DE ∥ BC。平行带来同位角相等，同位角相等带来相似，相似带来三组比值同时等于同一个 k——拖动截线，三个比一起动。
注意两套读法：AD/DB = AE/EC 是「上段比下段」，AD/AB = AE/AC 是「上段比全长」。两套都对，但一套题里不能混用——求 DB 时用第一套（AD/DB），求 AB 时用第二套（AD/AB），拿错分母是最常见的丢分点。
- DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC 且 AD/AB = AE/AC = DE/BC
- A 型：△ADE ∽ △ABC，相似比 = AD/AB
- X 型：直线 AD、AE 交于 A，B、C 与 D、E 分居 A 两侧，△ADE ∽ △ABC（对应关系要重排）
- 由 DE ∥ EF ∥ BC 还能推出中间平行线也成比例（三平行模型）
X 型的识别口诀：看到「两条线交出 X，上下各横着一条平行线」，立刻想到两个三角形共享顶点、反向相似。对顶角相等给了第一对等角，平行给第二对，AA 判定自然成立——它是下一节判定定理的最小应用场景。
现实里能做什么
手机支架与伸缩晾衣杆的几何原理
伸缩晾衣杆、剪刀式升降台、手机折叠支架里都藏着 X 型：几根杆用铰链连成交叉状，撑开角度变化时，所有交叉点的位置按同一比例移动——因为交叉结构里到处是「交于一点 + 平行杆」的 X 型相似。设计师算好一组比例，整个机构的每一级升降高度就都确定了。
知识要点
- 平行 → 成比例：DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC（上比下）也 = AD/AB = AE/AC（上比全）
- A 型：D、E 在 AB、AC 内部，△ADE ∽ △ABC（同向）
- X 型（8 字型）：两条直线交于一点，平行线在交点两侧，△ADE 与 △ABC 反向相似
- 反过来也成立：截得的线段对应成比例 ⇒ 两直线平行（这是证平行的比例版工具）
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE ∥ BC。AD = 4，…
△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE ∥ BC。AD = 4，DB = 6，AE = 3，求 EC 和 DE : BC。
- DE ∥ BC，用 A 型基本比例（上段比下段）：AD/DB = AE/EC
- 代入求 EC：4/6 = 3/EC ⇒ EC = 4.5
- 求 DE : BC 用「上段比全长」（同一套里别混）：DE/BC = AD/AB = 4/(4+6) = 2/5
EC = 4.5，DE : BC = 2 : 5。注意两套比例的用途：求「另一段」用上比下，求「平行线段」用上比全。
例 2线段 AB、CD 相交于点 O，AC ∥ BD。已知 OA = 2，OD =…
线段 AB、CD 相交于点 O，AC ∥ BD。已知 OA = 2，OD = 6，OC = 3，AC = 4.5。求证 △AOC ∽ △DOB，并求 OB 与 BD 的长。
- 对顶角相等 + 平行线的同位角相等，两角对应相等：∠AOC = ∠DOB（对顶角），∠OAC = ∠ODB（AC∥BD 的内错角）
- AA 判定成立（X 型基本图形）：△AOC ∽ △DOB
- 排对应：O 对 O，A 对 D，C 对 B，所以 OA 对 OD、OC 对 OB、AC 对 DB：OA/OD = OC/OB = AC/DB
- 先求 OB：2/6 = 3/OB ⇒ OB = 9
- 再求 BD：2/6 = 4.5/BD ⇒ BD = 13.5
- 核对第三组比：OA/OD 与 AC/DB 一致（2/6 = 4.5/13.5 = 1/3 ✓），比例自洽。
△AOC ∽ △DOB（AA），OB = 9，BD = 13.5。X 型的对应关系是「交叉」的：交点两侧的线段互相对应（OA↔OD、OC↔OB），写对应前先画交叉箭头。