作高：非直角三角形怎么办
讲解
三角函数定义里的「斜边」只在直角三角形中存在。拿到一个普通三角形，直接写 sinA = 对边/斜边是没有意义的——它根本没有斜边。所以这类题的第一步不是算，而是「造」一个直角三角形出来：作高。
从 C 向 AB 作垂线，垂足 D 一落，一个三角形变成两个直角三角形。在左边的 Rt△ACD 里，AC 就是斜边了：高 h = AC·sin∠A，投影 AD = AC·cos∠A。右边那个三角形本来就知道一条边，两边一凑，整个图形就解开了。
把 ∠A 拖到 100° 以上看看：垂足 D 跑到 AB 的延长线上了（图上补了一条灰色虚线）。这时 AD 算出来是负数，取绝对值当长度用就行，两个直角三角形的逻辑一点没变。这就是「钝角三角形的高在形外」，很多人栽在没画延长线上。
- 作高位置：一般从「已知角」的顶点向它的对边作，这样两个直角三角形都能用上已知角
- 设高为 h：两个直角三角形各写一条含 h 的式子，联立即可（这是双点测高、梯形、四边形题的通用套路）
- 面积公式：S = ½ × 底 × 高；用两边夹一角写就是 S = ½·AB·AC·sinA
- 特殊角组合：15° = 45° − 30°，75° = 45° + 30°，105° = 60° + 45°
- 梯形、菱形、正多边形：先作高（或作对角线），再回到直角三角形
一句话总结这一章的方法论：世界上只有一种三角形好算，就是直角三角形；遇到别的，就作高把它变成直角三角形的组合。
现实里能做什么
不规则地块怎么算面积
农村分地、工地算土方，地块常常是任意四边形，没有直角。测量员的做法是拉一条对角线，把四边形分成两个三角形，再在每个三角形里作高量出高——最后按 ½×底×高 累加。如果只知道两边和夹角，连高都不用量，直接用 S = ½ab·sinC 就能算。三角函数在这里不是考试工具，是丈量工具。
知识要点
- 第一步永远是作高：从顶点向对边作垂线，垂足记作 D
- 高 h = 邻边 × sin夹角，投影 AD = 邻边 × cos夹角
- 钝角时垂足落在形外，要补一条延长线，长度取绝对值
- 面积 S = ½·底·高 = ½·AB·AC·sinA（两边夹一角）
- 15° = 45° − 30°，75° = 45° + 30°，都可以通过作高拆开算
典型例题（点击展开题解）
例 1在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 30°，BC = 10，求 B…
在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 30°，BC = 10，求 BC 边上的高 AD 和边 AB 的长（精确到 0.01）。
- 作高 AD ⊥ BC，垂足为 D，设 AD = h。
- 在 Rt△ABD 中，∠B = 45°，所以是等腰直角三角形：BD = AD = h
- 在 Rt△ACD 中，∠C = 30°：DC = h ÷ tan30° = √3 h
- BD + DC = BC：h + √3 h = 10
- 解出：h = 10/(1 + √3) = 5(√3 − 1) ≈ 3.66
- 求 AB：在 Rt△ABD 中 AB 是斜边：AB = h ÷ sin45° = h√2 ≈ 5.18
高 AD ≈ 3.66，AB ≈ 5.18。非直角三角形先作高，把两个特殊角分别关进两个直角三角形里，再设同一个高列方程。