30°、45°、60° 的函数值
讲解
特殊角只有三个，但它们出现的频率高得离谱。与其背一张表，不如记住两个三角形：一个是等腰直角三角形（45°、45°、90°），一个是等边三角形劈一半（30°、60°、90°）。
左边是等腰直角三角形：两条直角边都是 k，斜边是 √2·k，所以 sin45° = k / (√2k) = √2/2。右边是把边长为 2k 的等边三角形沿高劈开：短直角边 k（对着 30°），长直角边 √3k，斜边 2k——于是 sin30° = k/2k = 1/2，sin60° = √3k/2k = √3/2。
- sin30° = 1/2 ≈ 0.5 cos30° = √3/2 ≈ 0.866 tan30° = √3/3 ≈ 0.577
- sin45° = √2/2 ≈ 0.707 cos45° = √2/2 ≈ 0.707 tan45° = 1
- sin60° = √3/2 ≈ 0.866 cos60° = 1/2 ≈ 0.5 tan60° = √3 ≈ 1.732
- 记忆规律：sin 随角增大而增大（1/2 < √2/2 < √3/2），cos 反过来（√3/2 > √2/2 > 1/2）
- 互余关系自动成立：sin30° = cos60°，sin45° = cos45°，sin60° = cos30°
考试里这三个值几乎从不单独出现，总是混在含根号的式子里：2sin30° + √2·cos45° − tan60°·tan30°。诀窍是先全部换成数，把式子变成一个纯实数运算，再合并同类项。别一边念「sin30° 等于二分之一」一边心算，容易在中途把根号看丢。
现实里能做什么
一副三角板就是一张函数表
学生用的那副三角板，一块是 45°-45°-90°，一块是 30°-60°-90°。它们的三边比被刻进了形状里：45° 那块的两腰相等，30° 那块的短直角边正好是斜边的一半。做木工、做钣金下料、画建筑大样图时，师傅用 45° 和 30° 靠尺直接划线，其实就是把这张表拿在手上。
知识要点
- sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = √3/3
- sin45° = cos45° = √2/2，tan45° = 1
- sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3
- 记忆锚点：30° 的对边是斜边的一半；45° 是等腰直角三角形
- 趋势：角从 0° 增到 90°，sin 从 0 增到 1，cos 从 1 减到 0，tan 从 0 增到无穷
典型例题（点击展开题解）
例 1计算：2sin30° + √2·cos45° − tan60°·tan30°…
计算：2sin30° + √2·cos45° − tan60°·tan30° + (π − 3)⁰。
- 把每个三角函数换成数值：sin30° = 1/2，cos45° = √2/2，tan60° = √3，tan30° = √3/3
- 逐项代入：2 × 1/2 = 1
- 第二项：√2 × √2/2 = 1
- 第三项：√3 × √3/3 = 1
- 零指数幂（π − 3 ≠ 0）：(π − 3)⁰ = 1
- 合并：1 + 1 − 1 + 1 = 2
原式 = 2。这类题的唯一诀窍是「先全部换成数」，把三角式变成实数运算后再合并。
例 2已知 ∠A 是锐角，tanA = √3，求 ∠A 的度数以及 sinA、co…
已知 ∠A 是锐角，tanA = √3，求 ∠A 的度数以及 sinA、cosA。
- 在特殊值表里找正切等于 √3 的角：tan60° = √3
- 锐角范围内正切值随角增大而增大，一个值只对应一个角：∠A = 60°
- 直接读出其余两个函数值：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2
- 也可以画图验证：取 30° 对边为 1，则邻边 √3、斜边 2，比值一致。
∠A = 60°，sinA = √3/2，cosA = 1/2。若题目没写「锐角」，则要小心多解（高中会补全）。