解直角三角形
讲解
所谓「解三角形」，就是把一个三角形里所有不知道的量都算出来。直角三角形一共六个元素（三条边、三个角），直角是已知的，所以还剩五个；只要再给两个（其中至少一个是边），五个就全定了。这就是「知二求三」。
现在已知 ∠A = 35° 和邻边 b = 5，要求对边 a 和斜边 c。想法很直接：找一个同时含「已知边」和「所求边」的比值。求 a 用 tanA = a/b（含对边和邻边），求 c 用 cosA = b/c（含邻边和斜边）。选对函数，方程就一步出来；选错了，只会绕圈。
- 已知斜边 c 和 ∠A：a = c·sinA，b = c·cosA
- 已知对边 a 和 ∠A：b = a ÷ tanA，c = a ÷ sinA
- 已知邻边 b 和 ∠A：a = b·tanA，c = b ÷ cosA
- 已知两边 a、b：c = √(a² + b²)，tanA = a/b，∠B = 90° − ∠A
- 已知斜边 c 和一条直角边 a：b = √(c² − a²)，sinA = a/c
- 计算顺序：先用手上现成的原始数据，别拿刚四舍五入过的中间值再算，误差会滚雪球
最后一步检验几乎是免费的：算完用勾股定理对一下 a² + b² 是不是等于 c²，对不上说明中途选错了函数或者按错了计算器。这个习惯能救回很多冤枉分。
现实里能做什么
屋顶的椽条要下多长
盖房子时屋架是个等腰三角形：跨度 8 m，也就是半边 4 m；屋面坡角定 30°。木工要下的椽条长度就是斜边：4 ÷ cos30° ≈ 4.62 m，同时脊高是 4 × tan30° ≈ 2.31 m。这两个数一出来，下料、开榫、算瓦片面积全有了依据——这就是解直角三角形在工地上的日常用法。
知识要点
- 三边关系：a² + b² = c²
- 两锐角关系：∠A + ∠B = 90°
- 边角关系：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b
- 已知两边：勾股求第三边，再用三角比求角
- 已知一边一角：直接用三角比求另两边
典型例题（点击展开题解）
例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，AB = 10，求…
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，AB = 10，求 BC 和 AC（精确到 0.01）。
- AB 是斜边，BC 是 ∠A 的对边，选正弦：sin35° = BC/10
- 解得：BC = 10 × sin35° ≈ 10 × 0.5736 = 5.74
- AC 是 ∠A 的邻边，选余弦：AC = 10 × cos35° ≈ 10 × 0.8192 = 8.19
- 检验勾股：5.74² + 8.19² ≈ 32.95 + 67.08 = 100.03 ≈ 10²
BC ≈ 5.74，AC ≈ 8.19。已知斜边和一个锐角时，对边用 sin、邻边用 cos，一步到位。
例 2在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，求 AB…
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，求 AB 和 ∠A（精确到 1°）。
- 已知两条直角边，先求斜边：AB = √(6² + 8²) = 10
- 求 ∠A 要用同时含 BC 和 AC 的函数，即正切：tanA = BC/AC = 6/8 = 0.75
- 查表或计算器：∠A ≈ 36.87° ≈ 37°
- 另一角互余：∠B = 90° − 37° = 53°
AB = 10，∠A ≈ 37°。求角优先用 tan：它不需要先算出斜边，能少一次开方误差。