锐角三角函数的定义
讲解
上一章的反比例函数是「乘积不变」，这一章是「比值不变」。直角三角形有一个直角，剩下两个锐角之和固定是 90°——只要其中一个角定了，三角形的形状就定了，只是整体还能放大缩小。三角函数就是把「形状」这件事量化下来。
看图认边：角 A 在左下角，它正对着的那条竖边 BC 叫「对边」，夹着它的那条横边 AC 叫「邻边」，对着直角的那条 AB 叫「斜边」。三条边两两相比得三个数：对边比斜边是 sinA，邻边比斜边是 cosA，对边比邻边是 tanA。这里的 40° 只是随手取的，正弦值约 0.64——换个角，这个数就变。
三个函数的取值有个天然范围：斜边永远最长，所以 sinA 和 cosA 都小于 1；而 tanA 是对边比邻边，角越小比值越小，角接近 90° 时邻边趋近于 0，tan 会一路冲上去，所以 tan 没有上限。
- sinA = 对边 / 斜边 = a / c （正弦）
- cosA = 邻边 / 斜边 = b / c （余弦）
- tanA = 对边 / 邻边 = a / b （正切）
- 同一个三角形里：sinA = cosB，cosA = sinB，tanA · tanB = 1（因为 A、B 互余）
- 写比值前先问一句：我要求的是哪个角？换角就要换边，sinA 和 sinB 用的是完全不同的两条边
一个常见的误解是把 sinA 当成「角 A 的度数」或者当成某条边的长度。它既不是角度也不是长度，是一个纯粹的比。所以 sin30° 永远等于 0.5，哪怕三角形只有指甲盖那么大。
现实里能做什么
为什么每级楼梯都一样陡
一段楼梯有很多级台阶，每一级的「高 ÷ 宽」都必须一样，走起来才顺脚。这个比值其实就是 tan（台阶的坡角）。工人师傅不需要量角度，只要每级都按「高 15 cm、宽 28 cm」来做，坡度就恒定。你每天上楼下楼，脚底下踩的就是一个正切值。
知识要点
- 前提是直角三角形：没有直角，就没有 sin、cos、tan
- 先锁定角，再分三条边：对边是这个角正对着的那条，邻边是夹着它的另一条直角边
- 三个都是比值，没有单位，只跟角的大小有关
- 锐角时 0 < sinA < 1、0 < cosA < 1、tanA > 0（斜边永远最长）
典型例题（点击展开题解）
例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，求 s…
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，求 sinA、cosA、tanA。
- 先用勾股定理求第三条直角边 AC：AC = √(13² − 5²) = √144 = 12
- 确认边：∠A 的对边是 BC = 5，邻边是 AC = 12，斜边是 AB = 13。
- 按定义写三个比值：sinA = 5/13，cosA = 12/13，tanA = 5/12
- 顺便验证互余关系：sinB = AC/AB = 12/13 = cosA ✓sinA = cosB = 5/13
sinA = 5/13，cosA = 12/13，tanA = 5/12。三边是 5-12-13 这组勾股数，比值都是最简分数。
例 2在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，求 ∠A…
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，求 ∠A 的三个三角函数值，以及 sinB。
- 斜边：AB = √(3² + 4²) = 5
- ∠A 的对边是 BC = 3，邻边是 AC = 4：sinA = 3/5，cosA = 4/5，tanA = 3/4
- ∠B 的对边是 AC = 4，斜边仍是 AB = 5：sinB = 4/5
- 对照发现 sinB = cosA = 4/5——A、B 互余，一个角的正弦等于另一个角的余弦。
sinA = 3/5，cosA = 4/5，tanA = 3/4，sinB = 4/5。同一个三角形里，sinA = cosB、cosA = sinB。