仰角、俯角与测高
讲解
测高的场景永远是同一个三角形：你的眼睛、塔顶、塔底正上方与眼睛等高的那个点。水平那条是邻边（你可以用皮尺量），竖直那条是对边（你要算的），视线是斜边（你量不到）。仰角就在你脚下那个顶点。
拖距离和仰角，塔高立刻跟着变。注意塔高被分成两段：眼睛以下的那 1.6 m 是仪器高（死的，量一次就行），眼睛以上那段才是 d·tanα。这两段必须相加——只算后一段是最常见的丢分点。
图上还有一条虚线：从塔顶向左画水平线，视线与它的夹角就是俯角。这条水平线和你的水平视线互相平行，视线是截线，两个角是内错角——所以俯角恒等于仰角。站在楼顶看地面的人，俯角和你在地面看他的仰角是同一个数。
- 单点测高：H = d·tanα + 仪器高
- 已知塔高求距离：d = (H − 仪器高) ÷ tanα
- 两点测高（底部不可达）：设近点到塔底为 x，则 x·tanβ = (x + a)·tanα，解出 x 再求 h
- 双点公式：h = a·tanα·tanβ ÷ (tanβ − tanα)，其中 α 是远点的仰角、β 是近点的仰角
- 视线长度（斜边）= d ÷ cosα，题目问「看到塔顶有多远」时用它
这类题的第一步永远是画图，而且要把「水平线」画出来——仰角画错位置，后面全错。画完图，把已知量标在图上，缺什么一目了然。
现实里能做什么
手机上的测高 App 是怎么工作的
很多手机 App 能「量楼高」：你站在楼下对准楼顶，它读出一个仰角，再让你输入到楼的距离，然后立刻给出高度。它做的运算就是 H = d·tanα + 你的身高。手机里的陀螺仪负责测角，三角函数负责把角变成高度——你这一章学的，就是那个公式。
知识要点
- 仰角、俯角都以观测者的水平线为基准，不是以竖直方向为基准
- 俯角 = 仰角（内错角），题目给哪个都能用
- 塔高 = 仪器高 + 水平距离 × tan仰角
- 水平距离是邻边，视线是斜边，塔顶高出眼睛的那段是对边
- 底部不可达时，同一直线上测两次仰角：h = a·tanα·tanβ ÷ (tanβ − tanα)
典型例题（点击展开题解）
例 1小明站在距塔底 30 m 处，测得塔顶的仰角为 30°，他的眼睛离地面 1.…
小明站在距塔底 30 m 处，测得塔顶的仰角为 30°，他的眼睛离地面 1.5 m，求塔高（精确到 0.1 m）。
- 画图：眼睛记作 E，塔顶 T，眼睛正前方与塔身等高的点记作 B。Rt△EBT 中 EB = 30，∠BET = 30°。
- 先求眼睛以上的那段：BT = EB·tan30° = 30 × √3/3 = 10√3
- 取近似值：BT ≈ 17.32 m
- 再加上眼睛到地面的高度：H = 17.32 + 1.5 = 18.82 m
塔高约 18.8 m。千万别漏掉仪器高——tan 算出的是「塔顶比眼睛高多少」，不是整座塔。
例 2在 A 处测得塔顶仰角 30°，沿直线向塔前进 20 m 到 B 处，测得仰…
在 A 处测得塔顶仰角 30°，沿直线向塔前进 20 m 到 B 处，测得仰角 60°。求塔高（不计眼高，精确到 0.1 m）。
- 设 B 到塔底的水平距离为 x，塔高为 h。在 B 处的直角三角形里：h = x·tan60° = √3 x
- 在 A 处的直角三角形里，水平距离是 x + 20：h = (x + 20)·tan30° = (x + 20)·√3/3
- 两个式子表示同一个 h，联立：√3 x = (x + 20)·√3/3
- 两边乘 √3 化简：3x = x + 20 → x = 10
- 回代求高：h = 10√3 ≈ 17.3 m
塔高约 17.3 m。两点测高的通用套路：设近点距离为 x，把同一个高写两遍，解方程。