等腰三角形的判定
讲解
判定定理的交互版：固定 A、B 两点，拖动 C 点，观察 ∠B、∠C 和 AB、AC 四组数据。你会发现两件事总是同时发生——两个角靠近，两条边也靠近；两角相等，两边必然相等。
最值得记住的是那个模型：「角平分线 + 平行线 → 等腰三角形」。如图，AD ∥ BC，BD 平分 ∠ABC，则 ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），又 ∠ABD = ∠DBC（角平分线），所以 ∠ABD = ∠ADB，由等角对等边得 AB = AD。三个条件一凑，一条边就白送了。
- 要证两边相等：先找这两边所对的角，再证两角相等
- 看到角平分线 + 平行线，立刻标注等腰三角形（这是全章最高频的模型）
- 看到「折叠」「翻折」，先找相等的角，往往能直接得到等腰
- 判断题陷阱：等角对等边只适用于同一个三角形内，不能跨三角形用
现实里能做什么
测距时不用过河也能量出宽度
要测河宽或塔高，测量员常常构造一个三角形，让两个角相等，于是对应的两条边也相等，把「量不到的距离」换成「量得到的距离」。这就是等角对等边的实用价值：把测量问题变成角度问题。工程放样、航海定位里都有这套思路。
知识要点
- 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
- 用法：要证两条边相等，先证它们所对的两个角相等
- 与性质定理方向相反：性质是「等腰 → 等角」，判定是「等角 → 等腰」
- 经典模型：平行线 + 角平分线 ⇒ 等腰三角形（出现频率极高）
- 证明方法：作顶角平分线，用 AAS 证两个三角形全等
- 「等边对等角」与「等角对等边」放在一起记：一个用来求角，一个用来证边
典型例题（点击展开题解）
例 1在 △ABC 中，∠B = ∠C。求证：AB = AC。
在 △ABC 中，∠B = ∠C。求证：AB = AC。
- 作 ∠A 的平分线 AD，交 BC 于 D——把角相等转化成三角形全等。∠BAD = ∠CAD
- 在 △ABD 与 △ACD 中列条件。∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，AD = AD
- 两个角 + 一条边（其中一角所对的边），用 AAS。△ABD ≌ △ACD（AAS）
- 全等三角形对应边相等。AB = AC
作角平分线 AD，由 AAS 得 △ABD ≌ △ACD，故 AB = AC
例 2如图，在 △ABC 中，D 是 AB 上一点，过 D 作 DE ∥ BC 交…
如图，在 △ABC 中，D 是 AB 上一点，过 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于 E，若 BE 平分 ∠ABC，求证：DE = BD。
- BE 平分 ∠ABC。∠DBE = ∠EBC
- DE ∥ BC，内错角相等。∠DEB = ∠EBC
- 两个角都等于 ∠EBC，故相等。∠DBE = ∠DEB
- 在 △BDE 中，等角对等边。DE = BD
- 这个「角平分线 + 平行线 → 等腰」的模型几乎每套卷子都出现，看到就标。
∠DBE = ∠DEB，由等角对等边得 DE = BD