等腰三角形的性质
讲解
等腰三角形的性质全都可以「折」出来：沿底边中垂线折一次，两腰重合、两个底角重合、顶角被平分，于是等边对等角和三线合一同时成立。下面这个实验台的关键滑块是第二个——「把顶点 A 拖离中垂线」。一旦拖偏，腰不再相等，三条线立刻分成三条，H、D、E 三个点各走各的路。
证明等边对等角只要一次全等：作顶角 ∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D，则 AB = AC、∠BAD = ∠CAD、AD 公共，由 SAS 得 △ABD ≌ △ACD，于是 ∠B = ∠C、BD = CD、∠ADB = ∠ADC = 90°。一次全等同时得到三个结论，这就是三线合一的由来。
- 已知等腰 + 顶角 → 底角 = (180° − 顶角) ÷ 2
- 已知等腰 + 底角 → 顶角 = 180° − 2 × 底角
- 三线合一的三条线只要知道其中一条，就能当另外两条用（这是解题的关键）
- 「等腰三角形两腰上的高相等」常用面积法证明：½ × 腰 × 腰上的高 = 面积
- 不要把「底边上的高」和「腰上的高」混了，三线合一说的只是底边上的那条
现实里能做什么
为什么屋顶都做成等腰三角形
屋顶的横截面通常是等腰三角形：两条斜边（屋面）等长，受力对称，雨水从两侧均匀流下。而且从屋脊垂直下来的那根梁（对应「底边上的高」）同时是中线，正好落在屋架正中，施工时只要保证它竖直，两侧就自动对称。等腰三角形「一量三用」的性质，在结构上就是省材料、省工时。
知识要点
- 定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角
- 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等
- 性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
- 三线合一只能在等腰三角形里用，且必须是「顶角的平分线 / 底边上的中线 / 底边上的高」
- 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（也就是顶角平分线所在的直线）
- 常用结论：等腰三角形两腰上的高相等、两底角的平分线相等
典型例题（点击展开题解）
例 1在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，求 ∠B 和 ∠C 的度…
在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，求 ∠B 和 ∠C 的度数。
- AB = AC，所以 ∠B 与 ∠C 是底角，相等。∠B = ∠C
- 三角形内角和 180°。∠A + ∠B + ∠C = 180°
- 代入。40° + 2∠B = 180°
- 解得。∠B = ∠C = 70°
∠B = ∠C = 70°
例 2在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点。求证：AD ⊥ BC…
在 △ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点。求证：AD ⊥ BC，且 AD 平分 ∠BAC。
- D 是中点。BD = CD
- AB = AC，AD 公共，用 SSS 证全等。△ABD ≌ △ACD（SSS）
- 对应角相等。∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC
- ∠ADB 与 ∠ADC 互补且相等。∠ADB = ∠ADC = 90°
- 所以 AD ⊥ BC 且 AD 平分 ∠BAC——这正是「三线合一」：底边上的中线同时也是高和角平分线。
由 SSS 得 △ABD ≌ △ACD，从而 AD ⊥ BC 且 AD 平分 ∠BAC
例 3等腰三角形两边长分别为 3 和 7，求它的周长。
等腰三角形两边长分别为 3 和 7，求它的周长。
- 不确定哪条是腰，要分两种情况：3 为腰，或 7 为腰。
- 情况一：腰 = 3，底 = 7。检验三边关系。3 + 3 = 6 < 7，不能构成三角形，舍去
- 情况二：腰 = 7，底 = 3。检验。7 + 3 > 7，可以构成三角形
- 求周长。7 + 7 + 3 = 17
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