加减消元法
讲解
解方程组 { 3x + 2y = 12 ; x + 2y = 8 }。两个方程里 y 的系数都是 2——这意味着两式相减时 y 会完全抵消：(3x + 2y) − (x + 2y) = 12 − 8，得 2x = 4，x = 2。回代得 y = 3。一个除法都没做，就消掉了一个未知数。
上面的实验台里，第二个方程可以整体乘 m 倍（等式两边同乘，公平交易）。拖动 m：当 m = −1 时 y 的系数变成 −2，与 ① 的 2 相加正好抵消——只剩 2x = 4。当 m = −3 时反而消掉的是 x（−4y = −12，y = 3）——消哪个未知数都行，看哪个系数好凑。
- 系数不成倍数时先整形：如 y 系数是 2 和 3，就 ①×3、②×2 凑出 6y 与 −6y
- 整形时两边每一项都要乘，漏乘常数项是最常见的错
- 加还是减看符号：系数相同用减、互为相反数用加；记不住就把减法统一改成「加相反数」
现实里能做什么
优惠叠加：「A 方案打 9 折加 20 元会员、B 方案打 8 折加 35 元」类问题里，两个费用方程往往系数整齐，加减一消就出答案。
知识要点
- 适用场景：两方程中同一未知数的系数相同或互为相反数（或成倍数）
- 相同用减、相反用加；系数不成倍先「整形」（两边同乘一个数）
- 本质还是消元：利用等式性质，两边分别相加（减）仍然是等式
- 常见变形：系数配平（如 2y 与 3y → 同乘 3、2 变成 6y 与 −6y）
典型例题（点击展开题解）
例 1解方程组 { 3x + 2y = 12 ; x + 2y = 8 }（指定用…
解方程组 { 3x + 2y = 12 ; x + 2y = 8 }（指定用加减法）。
- y 的系数都是 2，相同 → ① − ② 直接消 y：(3x − x) + (2y − 2y) = 12 − 8。2x = 4
- x = 2，回代②：2 + 2y = 8 → y = 3。y = 3
- 检验①：6 + 6 = 12 ✓。{ x = 2, y = 3 }
(x, y) = (2, 3)
例 2解方程组 { 3x + 4y = 19 ; 2x + 3y = 14 }。
解方程组 { 3x + 4y = 19 ; 2x + 3y = 14 }。
- 没有现成的同系数：①×2、②×3 凑 x 的系数都是 6。①×2: 6x + 8y = 38；②×3: 6x + 9y = 42
- 两式相减：y = 4。y = 4
- 回代②：2x + 12 = 14 → x = 1。验①：3 + 16 = 19 ✓。{ x = 1, y = 4 }
(x, y) = (1, 4)