代入消元法
讲解
解方程组 { y = x + 1 ; x + y = 7 }。第一个方程已经把 y 「交代」清楚了：y 就是 x + 1。那第二个方程里的 y 也没必要存在了——整个换成 (x + 1)：x + (x + 1) = 7，两个未知数瞬间变成一个。
拉一下上面的步骤滑块：第一步两条线各说各话；第二步代入后 x + (x + a) = 7 变成一元方程，红线在图上退化成一条垂直线；第三步回代求出 y。最后交点 (3, 4) 恰好是两条原线的交点——代数操作和几何意义在这里对上了。
- 选「孤立」的未知数代入：系数是 ±1 的那个，变形量最小
- 代完的方程不要再把代进去的未知数留在左边——那说明你代错了对象
- 解出 x 后必须回代求 y，两个都要写；检验时两个方程都要代
现实里能做什么
换币问题：「5 元和 10 元共 12 张、合计 95 元」——把「5 元张数」用「10 元张数」表示后整个代进金额方程，就是代入消元。
知识要点
- 核心思想：消元——两个未知数变一个
- 步骤：① 选一个系数简单的方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示；② 代入另一个方程；③ 解一元一次方程；④ 回代求另一个未知数
- 等量替换：代入的本质，消掉的是未知数、不是信息
- 选择技巧：谁孤立（系数是 1）就表示谁
典型例题（点击展开题解）
例 1解方程组 { y = 2x − 3 ; 3x + 2y = 8 }。
解方程组 { y = 2x − 3 ; 3x + 2y = 8 }。
- ① 已把 y 孤立，直接代入②：3x + 2(2x − 3) = 8。3x + 4x − 6 = 8
- 解一元一次方程：7x = 14，x = 2。x = 2
- 回代①：y = 4 − 3 = 1。写出解并检验：3×2 + 2×1 = 8 ✓。{ x = 2, y = 1 }
(x, y) = (2, 1)
例 2解方程组 { 2x + 3y = 16 ; x + 4y = 13 }（指定…
解方程组 { 2x + 3y = 16 ; x + 4y = 13 }（指定用代入法）。
- ② 的 x 系数是 1，最孤立：x = 13 − 4y。x = 13 − 4y
- 代入①：2(13 − 4y) + 3y = 16 → 26 − 8y + 3y = 16。−5y = −10
- y = 2，回代 x = 13 − 8 = 5。{ x = 5, y = 2 }
(x, y) = (5, 2)