余角和补角
讲解
拖 ∠1：中间的绿色余角和右边的蓝色补角跟着变化。注意补角「躺」在一条直线上的样子——实际题目里它通常就是这么出现的。
现实里能做什么
补角为什么总在「平角」里出现
两条相交直线形成四个角：相邻的两个角互补（合起来是平角），相对的两个角相等（对顶角）。所以「互补」在几何证明里几乎总是藏在一条直线后面——看到共线就想到 180°，看到互余就想到 90°，这是后面全等、三角形内角和证明里最常用的隐含条件。
知识要点
- 互余：∠1 + ∠2 = 90°；互补：∠1 + ∠3 = 180°（只讲数量关系，与位置无关）
- ∠α 的余角 = 90° − ∠α；补角 = 180° − ∠α
- 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等
- 平角处常见隐含条件：∠α + ∠β = 180°
- 一个角的补角比它的余角大 90°（180° − ∠α − (90° − ∠α) = 90°）
典型例题（点击展开题解）
例 1一个角的余角是它的补角的 ¼，求这个角。
一个角的余角是它的补角的 ¼，求这个角。
- 设这个角为 x°，则余角 (90 − x)°，补角 (180 − x)°。
- 按「余角 = ¼ 补角」列方程。90 − x = ¼(180 − x)
- 两边乘 4 展开。360 − 4x = 180 − x
- 移项解得。3x = 180 ⇒ x = 60
- 检验：余角 30°，补角 120°，30° = ¼ × 120° ✓。
这个角是 60°
例 2∠1 与 ∠2 互余，∠1 与 ∠3 互余。说明 ∠2 = ∠3 的理由。
∠1 与 ∠2 互余，∠1 与 ∠3 互余。说明 ∠2 = ∠3 的理由。
- 由互余定义写出两个等式。∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°
- 都用 ∠1 表示。∠2 = 90° − ∠1，∠3 = 90° − ∠1
- 同一个量减同一个量，差相等（等量减等量）。∠2 = ∠3
∠2 = ∠3 = 90° − ∠1（同角的余角相等）