正方形：两条来路的汇合
讲解
正方形没有「独立」的性质，它是矩形与菱形的交集。下面左右两块图形共用一条滑块：左边是矩形（高随 k 变），右边是菱形（对角线 d₂ 随 k 变）。当 k = 1 时，左边邻边相等变成正方形，右边对角线相等也变成正方形——两条完全不同的来路，终点是同一个图形。
这个实验台对应的正是判定书写规范：想证一个四边形是正方形，先证它是矩形（三个直角或对角线相等的平行四边形），再补一句「邻边相等」；或者先证它是菱形（四边相等或对角线垂直的平行四边形），再补一句「有一个直角」。直接写「因为四边相等且四角为直角，所以是正方形」在证明题里会被判「循环论证」——你把结论当条件用了。
- 已知边长求对角线：×√2；已知对角线求边长：÷√2（或 ×√2/2）
- 求面积：边长²；用对角线表示则是 ½d²（两条对角线相等）
- 正方形 + 45° 角：常用旋转构造全等（半角模型，见题型「正方形旋转」）
- 正方形内的直角：常出现「一线三垂直」全等，是八年级压轴的老套路
现实里能做什么
为什么正方形能铺满整个平面
地砖、棋盘、二维码、像素屏幕，底层都是正方形。原因很朴素：四个角都是 90°，四块拼在一点正好 360°；四条边等长，任意两块都能对齐。数学上这叫「正多边形密铺」——正三角形、正方形、正六边形是仅有的三种能单独铺满平面的正多边形，正方形是其中最好加工的一种。
知识要点
- 正方形 = 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
- 性质全继承：四边相等、四角直角、对角线相等且互相垂直平分
- 对角线 = √2 × 边长，每条对角线与边成 45°
- 判定：矩形 + 邻边相等；菱形 + 一个直角；菱形 + 对角线相等；对角线相等且互相垂直平分的四边形
- 有 4 条对称轴（2 条对角线 + 2 条对边中点连线），是中心对称图形
典型例题（点击展开题解）
例 1正方形 ABCD 的边长为 4，求对角线 AC 的长、∠ABD 的度数和它的…
正方形 ABCD 的边长为 4，求对角线 AC 的长、∠ABD 的度数和它的面积。
- 四个角都是直角，在 Rt△ABC 中：AC² = 4² + 4² = 32，AC = 4√2 ≈ 5.66
- 对角线平分一组对角，∠ABC = 90°：∠ABD = ½ × 90° = 45°
- 面积：S = 4² = 16
- 记住两个高频结论：对角线 = 边长 × √2；用对角线表示面积 S = ½d² = ½ × 32 = 16，与边长平方式一致。
AC = 4√2，∠ABD = 45°，面积 16
例 2正方形 ABCD 中，E 在 BC 上，F 在 CD 上，且 ∠EAF = …
正方形 ABCD 中，E 在 BC 上，F 在 CD 上，且 ∠EAF = 45°。求证：EF = BE + DF。
- 把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°，使 AB 与 AD 重合，点 E 落到 DC 延长线上的 G 处：△ABE ≌ △ADG
- 于是 BE = DG，AE = AG，∠B AE = ∠DAG。因为 ∠BAD = 90°、∠EAF = 45°：∠GAF = ∠GAD + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = 45°
- 在 △AEF 与 △AGF 中，AE = AG，AF 公共，∠EAF = ∠GAF = 45°：△AEF ≌ △AGF（SAS）
- 全等给出 EF = GF；而 G、D、F 共线且 D 在 G 与 F 之间：GF = GD + DF = BE + DF
- 所以 EF = BE + DF。这就是正方形里最经典的「半角模型」：见 45° 角就旋转，把两段拼成一段。
EF = BE + DF（旋转构造全等）