矩形：四个直角与斜边中线
讲解
矩形的定义要读仔细：有一个角是直角的<b>平行四边形</b>。所以它先把平行四边形的性质全部继承下来（对边平行且相等、对角线互相平分），再多两条：四个角都是直角、两条对角线相等。下图可以拖宽和高，注意两条对角线的长度永远相等，并且交点把它们各自平分——四个交点距离 OA、OB、OC、OD 全部相等。
把 △ABC 单独拎出来看（图中绿色三角形）：∠ABC = 90°，BO 是斜边 AC 上的中线。因为 OA = OB = OC，所以 BO = ½AC。这就是<b>直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半</b>——初中几何里出现频率最高的推论之一。它的实战价值在于反向使用：看到「直角 + 斜边中点」，立刻连中线，得到两个等腰三角形，角度关系一下就出来了。
- 证矩形三选一：一个直角（配合平行四边形）、三个直角（四边形即可）、对角线相等（配合平行四边形）
- 求线段：矩形中已知两边求对角线，用勾股；已知对角线求另一边，也用勾股
- 斜边中线：Rt△ 中已知斜边求中线（÷2），已知中线求斜边（×2）
- 矩形折叠：折痕两侧全等，把未知线段设成 x，用勾股列方程
「对角线相等的四边形是矩形」这句话是错的，反例是等腰梯形：两条对角线一样长，但它不是平行四边形。正确的说法必须带上前提——「对角线相等的<b>平行四边形</b>是矩形」。判定题里因为漏写「平行四边形」三个字被扣分，是这一章最典型的失分点。
现实里能做什么
为什么门、窗、书本、手机屏都是矩形
矩形能无缝拼接、能对齐、能被切割成标准件，是因为四个角都是直角——相邻两块拼起来刚好 180°，一排排下去不出缝。加上对角线相等，工人只要量两条对角线就能验方正，不需要量四个角。工业生产里「矩形」不只是好看，它是可测量、可互换的前提。
知识要点
- 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（先要是平行四边形）
- 性质：四个角都是直角；对角线相等（AC = BD）
- 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（BO = ½AC）
- 判定：① 有一个角是直角的平行四边形 ② 有三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形
- 既是中心对称图形（对角线交点），又有 2 条对称轴（两组对边中点的连线）
- 陷阱：对角线相等的四边形不一定是矩形（等腰梯形）
典型例题（点击展开题解）
例 1矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线交于点 O…
矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线交于点 O，求 AC 与 OA 的长。
- 矩形四个角都是直角，在 Rt△ABC 中：AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100
- 开方：AC = 10 cm
- 矩形对角线相等且互相平分：BD = AC = 10，OA = ½AC = 5 cm
- 顺带可知 O 到四个顶点的距离都是 5 cm，O 是矩形的外接圆圆心。
AC = 10 cm，OA = 5 cm
例 2Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点。若 AB …
Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点。若 AB = 10，求 CD；若 ∠A = 30°，BC = 5，求 CD。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：CD = ½AB = 5
- 第二问先看条件：∠A = 30°，它所对的直角边 BC = 5，则斜边：AB = 2BC = 10
- 再用斜边中线：CD = ½ × 10 = 5
- 注意 CD = AD = BD = 5，所以 △ACD 与 △BCD 都是等腰三角形。这个「一分三等腰」的性质，是斜边中线最常用的用法：由它导出等角，再由等角推角平分或垂直。
CD = 5（两问相同）
例 3矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10。沿 AE 折叠，使点 D …
矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10。沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，求 EC 的长。
- 折叠前后全等，AD = AF = 10。在 Rt△ABF 中：BF² = AF² − AB² = 100 − 64 = 36，BF = 6
- BC = 10，所以：FC = BC − BF = 10 − 6 = 4
- 设 EC = x，则 DE = 8 − x；折叠给出 EF = DE = 8 − x。在 Rt△EFC 中：(8 − x)² = x² + 4²
- 展开解方程：64 − 16x + x² = x² + 16，16x = 48，x = 3
- 验算：EC = 3，DE = 5，EF = 5，且 FC = 4，3-4-5 直角三角形成立。
EC = 3