除法与分母有理化
讲解
实验台画了一个面积模型：绿色矩形的宽是 1/√d、高是 √d，面积恰好是 1。这个矩形说明「1/√d 乘上 √d 正好补成整数 1」——这正是有理化时分子分母同乘 √d 的几何解释。拖动 d，数轴上红点的位置就是 1/√d 的数值，它和 √d/d 永远重合。
为什么非要处理分母？除了「最简二次根式不含分母」这条规范，还有一个实际原因：分母是无理数时估算、比较大小都不方便。统一化成 √d/d 的形式后，√2/2、√3/3、√5/5 这些结果之间的大小关系一目了然。
- 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707；1/√3 = √3/3 ≈ 0.577；1/√5 = √5/5 ≈ 0.447
- √12/√6 = √2（先约再化更省事）
- 分母是 1 + √2 时乘 1 − √2：(1+√2)(1−√2) = 1 − 2 = −1
- 检验有理化没做错：把结果平方，应等于原式平方
现实里能做什么
没有计算器的年代怎么除以 √2
手算时代，用 1 除以 1.414… 非常痛苦，但用 1.414… 除以 2 只需要心算——这就是有理化的实际动机：把「除以无理数」变成「除以整数」。1/√2 = √2/2 ≈ 0.707，两种写法数值完全相同，但第二种在纸上好算得多。今天的计算器虽然不需要了，但这个变形技巧在代数恒等变换里到处都在用。
知识要点
- 除法法则：√(a/b) = √a / √b（a ≥ 0，b > 0）
- 分母有理化：1/√2 = √2/2，1/√3 = √3/3——分子分母同乘分母里的根式
- 原理：√2 × √2 = 2，乘一次恰好把分母的根号「补成平方」
- 几何意义：1/√d × √d = 1，相当于把单位正方形切成 d 份
- 常用结论：√a/a 型（分母是整数）就是最简结果
- 进阶：分母是 a + √b 时，乘它的「有理化因式」a − √b（平方差公式）
典型例题（点击展开题解）
例 1计算：（1）1/√3；（2）√12 ÷ √6；（3）√8 ÷ √2。
计算：（1）1/√3；（2）√12 ÷ √6；（3）√8 ÷ √2。
- （1）分子分母同乘 √3，把分母补成平方。1/√3 = √3/3
- （2）先除再化简。√12 ÷ √6 = √2
- （3）被开方数直接相除。√8 ÷ √2 = √4 = 2
- 能先约分的先约（√12/√6 直接得 √2），约不掉的再走有理化。
（1）√3/3；（2）√2；（3）2