多边形及其内角和
讲解
把多边形的边数从 3 调到 8，注意看彩色三角形的个数：边数每加 1，就多切出一个三角形，内角和就多 180°。这不是背公式，而是「把不会的图形切成会的图形」这个通用方法的直接结果——多边形的问题，一律化归成三角形。
- n 边形内角和 = (n − 2) × 180°，十边形就是 8 × 180 = 1440°
- 外角和恒为 360°：绕多边形走一圈，朝向总共转一圈
- 已知正多边形一个内角求边数：先算外角 = 180° − 内角，再用 360 ÷ 外角
- 已知内角和求边数：(n − 2) × 180 = 内角和，解出 n
两条公式要分清主次：内角和随边数变，外角和永远是 360°。所以凡是「已知一个角求边数」的题，走外角那条路总是更快——正多边形每个外角 = 360/n，一步除法就出答案，不必列一元一次方程去解 (n−2)×180/n = 内角。
现实里能做什么
蜂巢为什么是六边形
正六边形每个内角 120°，三块拼在一起正好 360°，能无缝铺满平面，用料又最省——蜜蜂用几千万年验证了这个结论。地砖同理：只有正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）能单独密铺，因为只有它们的 360° 能被内角整除。
知识要点
- n 边形内角和 = (n − 2) × 180°
- 任意多边形外角和 = 360°（与边数无关）
- 正 n 边形：每个内角 = (n−2)·180°/n，每个外角 = 360°/n
- 从一个顶点出发可引 (n − 3) 条对角线，把多边形分成 (n − 2) 个三角形
- n 边形的对角线条数 = n(n − 3)/2
典型例题（点击展开题解）
例 1求十边形的内角和；若它是正十边形，求每个内角的度数。
求十边形的内角和；若它是正十边形，求每个内角的度数。
- 内角和公式：(n − 2) × 180°
- 代入 n = 10：8 × 180° = 1440°
- 正十边形每个内角相等：1440° ÷ 10 = 144°
- 另一种算法（外角路线）：每个外角 = 360° ÷ 10 = 36°，内角 = 180° − 36° = 144°，结果一致且更快。
内角和 1440°，每个内角 144°
例 2一个正多边形的每个内角都是 144°，求它的边数。
一个正多边形的每个内角都是 144°，求它的边数。
- 走外角这条路最快：每个外角与内角互补：外角 = 180° − 144° = 36°
- 外角和恒为 360°，边数 = 360° ÷ 每个外角：n = 360° ÷ 36° = 10
- 若用内角和路线验算：(n − 2) × 180 = 144n ⇒ 180n − 360 = 144n ⇒ 36n = 360，n = 10
- 两条路都通，但外角法不需要解方程。凡是「已知正多边形的一个角求边数」，先想外角。
10 边形
例 3一个正多边形的每个外角都是 24°，求它的边数与内角和。
一个正多边形的每个外角都是 24°，求它的边数与内角和。
- 外角和恒为 360°：n = 360° ÷ 24° = 15
- 内角和：(15 − 2) × 180° = 13 × 180° = 2340°
- 验算每个内角：180° − 24° = 156°，而 2340° ÷ 15 = 156° ✔
- 顺带求对角线条数：n(n−3)/2 = 15 × 12 ÷ 2 = 90 条。
15 边形，内角和 2340°