三角形的内角和：180°
讲解
左边拖两个角，第三个角会自动补足：三角之和永远是 180°。右边是把三个角「撕下来」拼在一起的样子——三个扇形刚好铺满上半平面，合起来正好一个平角。这个拼图不是动画特效，它就是这条定理的证明：过顶点 C 作一条平行于 AB 的直线，用内错角把 ∠A 和 ∠B 搬到 C 处，三个角落在同一条直线上。
这条定理的价值在于「转化」：它把三个分散的角绑成一个整体，于是「知道两个就能求第三个」。所有求角度的题，不管多复杂，最后都落在这一个式子上。常见变式有三种：直接给两角求第三角；给比例（设 x）；给差或和的关系（列方程）。
- 直接型：∠A = 50°，∠B = 60° → ∠C = 70°
- 比例型：∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3 → 设 x，x + 2x + 3x = 180，得 30°、60°、90°
- 关系型：∠B − ∠C = 10° 且 ∠A = 50° → ∠B + ∠C = 130°，解得 ∠C = 60°
- 直角三角形：∠C = 90° → ∠A + ∠B = 90°（互余），常用于角度换算
现实里能做什么
三角尺为什么能画出 30°、45°、60°
一副三角尺就是两个内角和恰好的三角形：等腰直角三角尺是 90°+45°+45°，另一个是 90°+60°+30°。知道了内角和恒为 180°，只要固定一个直角，另外两个角怎么分配都行——这就是为什么三角尺只有两种标准形状，而工程制图里所有角度都能用它们拼出来。
知识要点
- 三角形内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°
- 推论：直角三角形两个锐角互余（和为 90°）
- 一个三角形最多有一个直角或一个钝角（否则超过 180°）
- 已知两角求第三角；已知角的比例关系可设 x 列方程
- 证明思路：过顶点作平行线，用内错角把两个角「搬」过来拼平角
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，∠A = 50°，∠B − ∠C = 10°，求 ∠C 的度数…
△ABC 中，∠A = 50°，∠B − ∠C = 10°，求 ∠C 的度数。
- 内角和：∠B + ∠C = 180° − 50° = 130°
- 与已知的差联立：∠B − ∠C = 10°
- 两式相减（或相加后除以 2）：2∠C = 120°，∠C = 60°
- 顺带求出 ∠B = 70°，验算：50 + 70 + 60 = 180 ✔
∠C = 60°
例 2Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，求 ∠B；若 ∠A =…
Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，求 ∠B；若 ∠A = ∠B，求 ∠A。
- 内角和 180°，减去直角：∠A + ∠B = 90°
- 第一问：∠B = 90° − 35° = 55°
- 第二问：两角相等，各占一半：∠A = ∠B = 45°
- 这就是等腰直角三角尺的形状（90°、45°、45°）——一副三角尺的两个形状，本质都是「直角 + 两个互余的锐角」。
∠B = 55°；当 ∠A = ∠B 时 ∠A = 45°
例 3△ABC 中，∠A = 70°，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 O，…
△ABC 中，∠A = 70°，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 O，求 ∠BOC 的度数。
- 在 △BOC 中，先用内角和表示：∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB)
- O 是角平分线交点，所以：∠OBC = ½∠ABC，∠OCB = ½∠ACB
- 代入并用 △ABC 的内角和：∠OBC + ∠OCB = ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − 70°) = 55°
- 于是：∠BOC = 180° − 55° = 125°
- 结论可以背成公式：两内角平分线的夹角 = 90° + ½∠A，本题 90° + 35° = 125°，与结果一致。
∠BOC = 125°