三角形的外角
讲解
把 BC 延长到 D，∠ACD 就是外角。拖一拖顶点 C：内角 ∠ACB 变大，外角就变小（互补）；而 ∠A 与 ∠B 变大，外角也跟着变大——它俩的和正好等于外角。
证明只有一行：因为 ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角），又 ∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（内角和），两式相减得 ∠ACD = ∠A + ∠B。所以外角定理不是新定理，它就是内角和的一个推论——但用起来比内角和快得多，因为它让你跳过「先求第三角」这一步。
- 求角：已知两内角直接写外角，比先求第三角再算补角快一步
- 证不等：要证某个角大于另一个角，常用「外角大于不相邻内角」
- 求外角和：三角形 360°，四边形 360°，任意多边形都是 360°
- 易错：一个顶点有两个外角（互为对顶角，大小相等），题目说「外角」通常指其中一个
现实里能做什么
绕操场走一圈，转过的角度正好 360°
沿着一个三角形花坛的边走路，每到一个顶点就要「拐一个弯」，拐的角度正好是这个顶点的外角。走完三边回到出发点、朝向与出发时相同，一共转了 360°——这就是三角形外角和为 360° 的现实版本。折线管道、机器人路径规划、汽车转向角，背后都是同一个事实。
知识要点
- 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角
- 外角与相邻内角互补（合起来 180°，因为三点共线）
- 外角定理：一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
- 推论：外角大于任何一个与它不相邻的内角
- 三角形的外角和是 360°（每个顶点取一个外角）
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，∠A = 65°，∠B = 45°，D 是 BC 延长线上一点…
△ABC 中，∠A = 65°，∠B = 45°，D 是 BC 延长线上一点，求 ∠ACD 的度数。
- ∠ACD 是顶点 C 处的外角，等于两个不相邻内角之和：∠ACD = ∠A + ∠B
- 代入：∠ACD = 65° + 45° = 110°
- 验算（用内角和路线）：∠ACB = 180° − 65° − 45° = 70°，而 ∠ACB 与 ∠ACD 互补：180° − 70° = 110° ✔
- 比较两条路：外角定理少算一步，这就是它在考试里更受欢迎的原因。
∠ACD = 110°