三角形的边：能不能围成
讲解
拿三根小棒摆三角形，你会发现并不是随便三根都能摆成：两根短的加起来如果还不如第三根长，两条短边「够不着」第三边的两端。下面这个实验台可以随便拖三条边的长度，能围成时它画三角形，围不成时它把两条短边接起来和最长边比长短——一眼就能看出差多少。
为什么一定是「大于」，不能是「等于」？因为两点之间线段最短：从 A 到 B 走折线（经过 C）一定比走直线长。当折线长度恰好等于直线时，C 就落在 AB 上，三点共线，图形退化成一条线段，不再是三角形。这条「两点之间线段最短」是初中几何最基础的公理，三边关系就是它的直接推论。
- 判断能否组成三角形：最短两边之和 > 最长边 → 能；≤ → 不能
- 已知两边 3 和 8，第三边 x 的范围：8 − 3 < x < 8 + 3，即 5 < x < 11
- 等腰三角形分类讨论时，先用三边关系筛掉不成立的情况（腰太短会围不成）
- 求周长最小值/最大值类题目，答案往往卡在「差」与「和」这两个端点上
现实里能做什么
自行车车架为什么是三角形
自行车、屋顶桁架、高压电塔、摄像机三脚架，骨架里全是三角形。原因就是「稳定性」：三根杆的边长一旦确定，夹角就再也变不了，所以怎么骑都不会散架。而伸缩门、晾衣架故意用平行四边形——边定死了，角还能变，所以能伸能缩。工程上「要稳就加斜撑」这句话，数学根据就是三边关系。
知识要点
- 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形
- 三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边
- 判断技巧：只需比较「最短两边之和」与「最长边」，不必三个不等式都算
- 已知两边求第三边范围：|a − b| < c < a + b
- 三角形具有稳定性（边长定了形状就定了），四边形没有
典型例题（点击展开题解）
例 1下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）3 cm、4 cm、5 cm；（2）…
下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）3 cm、4 cm、5 cm；（2）2 cm、3 cm、6 cm；（3）5 cm、5 cm、10 cm。
- 方法：只比较「最短两边之和」与「最长边」。短 + 短 > 长
- 第（1）组：3 + 4 = 7 > 5：能组成三角形
- 第（2）组：2 + 3 = 5 < 6：不能组成三角形
- 第（3）组：5 + 5 = 10，恰好等于最长边，三点会共线：不能组成三角形（退化成一条线段）
- 结论：只有（1）能组成三角形。注意「等于」也不行，必须是严格大于。
只有（1）能组成三角形
例 2三角形的两边长分别为 5 和 9，第三边长为 x，求 x 的取值范围。
三角形的两边长分别为 5 和 9，第三边长为 x，求 x 的取值范围。
- 两边之和大于第三边：x < 5 + 9 = 14
- 两边之差小于第三边：x > 9 − 5 = 4
- 两个条件同时成立：4 < x < 14
- 若 x 是整数，可取 5 到 13，共 9 个值；若是等腰三角形，则 x 只能取 5 或 9。
4 < x < 14
例 3等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，求它的周长。
等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，求它的周长。
- 要分两种情况讨论：3 是腰，或 7 是腰。
- 若腰为 3，则三边为 3、3、7，检验：3 + 3 = 6 < 7，不能组成三角形
- 所以腰只能是 7，三边为 7、7、3，检验：7 + 3 = 10 > 7，成立
- 周长：7 + 7 + 3 = 17
- 记住这类题的顺序：先分类，再用三边关系筛掉不成立的，最后才算周长。漏掉检验是丢了「等腰」二字的陷阱分。
周长为 17