高、中线与角平分线
讲解
同一个三角形里有三种「从顶点出发」的重要线段，名字只差一个字，作用完全不同：高看<b>垂直</b>，中线看<b>中点</b>，角平分线看<b>等角</b>。下面的实验台用一个滑块在三种线之间切换，拖一拖顶点 C，重点观察两件事——三条线是不是都交于一点，以及钝角三角形时高跑到哪里去了。
把滑块切到「高」，然后把顶点 C 拖得很靠左，让 ∠B 变成钝角：从 A 和 C 出发的两条高就落到三角形外面去了，要画在对边的<b>延长线</b>上（红色虚线）。这是作图题最常踩的坑——高不一定在三角形内部。切到「中线」看重心，切到「角平分线」看内心：内心永远在形内，垂心却可能跑到外面，正是这个原因。
- 求面积：S = ½ × 底 × 对应高。换底要换对应的高，不能混用
- 中线平分面积：AD 是中线 → S△ABD = S△ACD = ½ S△ABC
- 中线分周长：AD 是中线 → △ABD 与 △ACD 的周长差 = AB − AC
- 重心比例：重心把中线分成 2 : 1，即 G 到顶点距离 = 2 × G 到中点距离
- 角平分线的用法：出现「角平分线 + 垂线」时，立刻向另一边作垂线造全等
现实里能做什么
三角形的重心用手指就能顶住
找一块三角形铁片，用手指顶住三条中线的交点，它能稳稳平衡——这一点就是重心，也就是它的「物理重心」。工程上吊装三角形构件、计算物体稳定点，用的都是它。而「高」在测量里更直接：量一块三角形地的面积，只需要量一条边和它对应的高，不必管另外两条边。
知识要点
- 高：顶点到对边所在直线的垂线段，三条高（或延长线）交于垂心；钝角三角形有两条高在形外
- 中线：顶点到对边中点的线段，三条中线交于重心，重心分每条中线为 2 : 1
- 角平分线：平分内角的线段，三条交于内心，内心到三边距离相等
- 一条中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）
- 高决定面积（S = ½ × 底 × 高），中线决定面积平分，角平分线决定到两边距离相等
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB = 6 cm，AC = 8 …
△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB = 6 cm，AC = 8 cm，求 △ABD 与 △ACD 的周长之差。
- AD 是中线，所以 D 是 BC 中点：BD = CD
- 写出两个三角形的周长：C△ABD = AB + BD + AD，C△ACD = AC + CD + AD
- 相减，BD = CD 与 AD 都抵消：C△ABD − C△ACD = AB − AC = 6 − 8 = −2
- 取绝对值：周长之差为 2 cm，△ACD 的周长更大。规律：中线分出的两个三角形，周长差就是另两边的差。
周长之差为 2 cm
例 2△ABC 的面积为 24 cm²，AD 是 BC 边上的中线，求 △ABD …
△ABC 的面积为 24 cm²，AD 是 BC 边上的中线，求 △ABD 与 △ACD 的面积。
- D 是 BC 中点，所以两个三角形的底相等：BD = CD = ½BC
- 两个三角形共用顶点 A，高是同一条（A 到 BC 的距离）：h 相同
- 等底同高，面积相等：S△ABD = S△ACD = ½ × 24 = 12
- 推论：三角形的任意一条中线都把面积平分；反过来，若一条线段把三角形面积平分且一端在顶点，它一定是中线。
各为 12 cm²