最短路径问题（将军饮马）
讲解
这个实验台只有一件事可做：拖动 P 在河岸上滑动，盯着 AP + PB 的数值。你会发现它有一个最低点，而这个最低点恰好就在 A′B 与河岸的交点上——此时 A′、P、B 三点共线，绿色虚线变成了一条直线。
把理由写清楚只用两句话：第一，A 与 A′ 关于 l 对称，所以对 l 上任意一点 P 都有 AP = A′P（垂直平分线的性质）；第二，两点之间线段最短，所以 A′P + PB ≥ A′B，等号当且仅当 A′、P、B 三点共线时成立。把这两句连起来，就是完整证明——不需要任何计算。
- 见到「直线/河岸/坐标轴上找一点，使两段距离之和最小」→ 作对称点，连线段
- 见到「三角形周长最小」→ 把两条边翻折到同一条直线上
- 见到「两条平行线间搭桥，桥垂直于河岸」→ 先把一个点沿垂直方向平移桥长，再连线段
- 求最小值时可以用 A′B 的长度，不必先求出 P 的位置
- 若两点在直线两侧，就不需要对称点，直接连线
现实里能做什么
为什么「两点之间线段最短」这么有用
在河边修一个取水点，给两个村子供水，管道怎么走最短？在公路边建一个公交站，让两个小区的人走的总路程最短？这类问题的答案都是「作对称点、连线段」。它的思想比结论更重要：遇到「折线求和最小」，就想办法把折线翻折成一条直线——几何里很多「最值」问题，本质都是把弯的拉直。
知识要点
- 基本模型：A、B 在直线 l 同侧，在 l 上求 P 使 AP + PB 最小
- 作法：作 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于 P，此 P 即为所求
- 理由：轴对称保证 AP = A′P，所以 AP + PB = A′P + PB ≥ A′B，等号在三点共线时成立
- 最小值就是线段 A′B 的长度（不用求 P 的坐标也能先算最小值）
- 若 A、B 在 l 两侧：直接连接 AB，与 l 的交点就是 P
- 常见变体：角两边各取一点使周长最短（作两次对称）、两平行线间造桥选址（先平移再连线段）
典型例题（点击展开题解）
例 1直线 l 的同侧有 A、B 两点，在 l 上求作一点 P，使 AP + PB…
直线 l 的同侧有 A、B 两点，在 l 上求作一点 P，使 AP + PB 最小（写作法并说明理由）。
- 作 A 关于 l 的对称点 A′。A′ 即为 A 的对称点
- 连接 A′B，交 l 于点 P。P = A′B ∩ l
- 此 P 即为所求。理由一：A、A′ 关于 l 对称，对 l 上任意点 P 都有 AP = A′P。AP = A′P
- 理由二：两点之间线段最短。AP + PB = A′P + PB ≥ A′B
- 等号当且仅当 A′、P、B 三点共线，即 P 为 A′B 与 l 的交点时取到最小值 A′B。
作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P，最小值 = A′B
例 2在 x 轴上求一点 P，使 PA + PB 最小，其中 A(1, 3)、B(…
在 x 轴上求一点 P，使 PA + PB 最小，其中 A(1, 3)、B(5, 1)，并写出 P 的坐标。
- A、B 都在 x 轴上方（同侧），所以作 A 关于 x 轴的对称点。A′(1, −3)
- 连接 A′B，它与 x 轴的交点就是所求的 P。P = A′B ∩ x 轴
- 求 A′B 与 x 轴的交点：设 P(x, 0)。可以用「A′、P、B 三点共线」列比例。(x − 1) : (5 − x) = |−3| : 1
- 解得。x − 1 = 3(5 − x) ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4
- 所以 P(4, 0)，此时 A′、P、B 共线，PA + PB 取最小值 A′B。P(4, 0)
P(4, 0)