将军饮马：折线求和最小
题面信号
看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。
最短
最小
距离之和
河岸
在直线上找一点
周长最小
逆向解读：这题由哪些知识点拼成
从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。
起点是「最短路径问题（将军饮马）」——拿到同类题，第一步就去那里想。
解题路线（固定动作，照做就行）
- /axis-symmetry/ax-path
- /axis-symmetry/ax-concept
完整解答
完整解答两个定点在一条直线同侧，要在直线上找一点，使得到两定点的距离之和最小。
两个定点在一条直线同侧，要在直线上找一点，使得到两定点的距离之和最小。
- 作其中一个定点关于直线的对称点。A → A′
- 连接 A′ 与另一个定点，与直线的交点就是所求的点。P = A′B ∩ l
- 说明理由：对称保证 AP = A′P，所以 AP + PB = A′P + PB ≥ A′B，三点共线时取等号。AP + PB ≥ A′B
- 最小值就等于线段 A′B 的长度；若要求点的坐标，再用共线列比例求。
卡壳常卡在这
易错点 对称点作在了异侧（两点在异侧时不需要作对称点，直接连线）；只求出 P 却忘了回答最小值；把「距离之和」与「距离之差最大」混为一谈。