线段的垂直平分线
讲解
先把画法看清楚：以 A、B 为圆心、同一个足够大的半径画两段弧，两个交点连起来，就是 AB 的中垂线。拖动半径滑块，两个交点会上下移动，但它们的连线始终垂直于 AB 且过中点——因为两段弧到 A、B 的距离都等于同一个 r，两个交点自然都满足「到两端等距」。
性质定理的证明只要一次全等：设中垂线交 AB 于 O，则 AO = BO、∠AOP = ∠BOP = 90°、OP 公共，由 SAS 得 △AOP ≌ △BOP，于是 PA = PB。逆定理反过来用：若 PA = PB，连 OP，用 HL（或 SSS）得两个直角三角形全等，于是 O 是 AB 中点且 OP ⊥ AB。
- 看到「垂直平分线」→ 立刻写 PA = PB，把未知线段换成已知线段
- 看到「PA = PB」「到两点距离相等」→ 立刻想到中垂线，可以作中垂线或求交点
- 看到「求作一点使它到两点距离相等」→ 作中垂线，若还要求在其他图形上（如某条边、某条直线上），取交点即可
- 看到「求一点使它到三个顶点距离相等」→ 作两条中垂线，交点是外心
现实里能做什么
三个村子打一口井，井该打在哪
如果要建一个到三个村庄距离都相等的供水站，做法就是分别作两条边的垂直平分线，交点就是答案。这类「到若干点距离相等」的问题全都是中垂线的应用：建基站、建仓库、找圆心（三角形外接圆的圆心就是三边中垂线的交点）。尺规作图能找到它，是因为「两弧等半径」保证了交点到两端距离相等。
知识要点
- 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线（中垂线）
- 性质定理：垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等（PA = PB）
- 判定（逆）定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
- 合起来：PA = PB ⟺ 点 P 在 AB 的垂直平分线上
- 尺规作图：以 A、B 为圆心，大于 ½AB 的同一长度为半径画弧，两弧交点连线即为中垂线
- 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点距离相等（外心）
典型例题（点击展开题解）
例 1在 △ABC 中，AB = AC = 8，BC = 5，DE 是 AB 的垂…
在 △ABC 中，AB = AC = 8，BC = 5，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AC 于 E、交 AB 于 D，求 △BCE 的周长。
- E 在 AB 的垂直平分线上，由性质得它到 A、B 距离相等。EA = EB
- △BCE 的周长 = BC + CE + BE，把 BE 换成 AE。周长 = BC + CE + AE
- 注意 CE + AE 恰好是整条 AC。CE + AE = AC = 8
- 代入数据。周长 = 5 + 8 = 13
13
例 2已知线段 AB，用尺规作它的垂直平分线，并说明作法的道理。
已知线段 AB，用尺规作它的垂直平分线，并说明作法的道理。
- 以 A 为圆心，大于 ½AB 的长为半径画弧。r > ½AB
- 以 B 为圆心，用同一个半径画弧，两弧交于 M、N 两点。AM = BM，AN = BN
- 作直线 MN，它就是 AB 的垂直平分线。MN 即为所求
- 道理：M、N 到 A、B 的距离都相等，所以它们都在 AB 的垂直平分线上；两点确定一条直线，故 MN 就是这条中垂线。MA = MB，NA = NB ⇒ M、N 在中垂线上
- 半径必须大于 ½AB，否则两弧不相交，作不出来。
以 A、B 为圆心、同一半径 r > ½AB 画弧，两交点连线即为垂直平分线