轴对称与轴对称图形
讲解
这一节最容易栽在概念上，所以先用一个实验台把「折叠」这件事看清楚。下面这个五边形可以沿任意一条直线折过去：拖动滑块让翻折进度从 0% 到 100%，你会看到红色图形一点点落到蓝色图形关于这条直线的位置。折到底时，每个对应点的连线都被这条直线垂直平分——这条直线就是对称轴。
轴对称图形和两个图形成轴对称，是同一个动作的两种说法。前者数的是一个图形（它自己被轴分成两半，折过去重合），后者数的是两个图形（把它们放在轴的两侧，折过去重合）。所以判断「是不是轴对称图形」的方法是相同的：假想沿某条直线把图形对折，看两边能不能完全重合。
- 常见图形的对称轴条数：等腰三角形 1 条（底边中垂线）、等边三角形 3 条、长方形 2 条、正方形 4 条、圆无数条、平行四边形 0 条
- 注意：一般的平行四边形没有对称轴（它是中心对称图形，别和轴对称搞混）
- 课本常见的判断题陷阱：「角是轴对称图形，对称轴是角平分线」——错，对称轴是角平分线所在的直线
- 成轴对称的两个图形全等；反过来全等不一定成轴对称（可能只是平移过去的）
现实里能做什么
为什么蝴蝶、脸谱、剪纸都是「左右一样」的
蝴蝶的翅膀、人的脸、树叶、故宫的屋顶、汽车的正面轮廓，都是轴对称图形。设计上用它是因为「对称 = 平衡感」，视觉上一眼就觉得稳。工程里也一样：桥梁、飞机的左右两侧必须严格对称，否则受力不均。而在数学里，对称的最大价值是「省事」——只要研究清楚一半，另一半自动有了，因为对称过去的所有长度、角度都不变。
知识要点
- 轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合（如等腰三角形、圆、正方形）
- 两个图形成轴对称：把两个图形沿某条直线折叠，它们能完全重合
- 两者的区别只在「数几个图形」，本质都是「沿直线翻折后重合」
- 对称轴是一条直线，不是线段；一个轴对称图形可能有一条或多条对称轴（圆有无数条）
- 性质：对称轴垂直平分每一组对应点所连的线段；对应线段相等、对应角相等、对应图形全等
- 全等与轴对称的关系：成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称（还可能是平移、旋转得到）
典型例题（点击展开题解）
例 1下列图形中，是轴对称图形的有（ ）①等腰三角形 ②平行四边形 ③圆 ④正方形…
下列图形中，是轴对称图形的有（ ）①等腰三角形 ②平行四边形 ③圆 ④正方形 ⑤角 ⑥线段
- 逐个假想「沿某条直线对折，两边能否重合」。
- ①等腰三角形：沿底边中垂线折，两腰重合，是。③圆：任意一条直径所在直线都是对称轴，是。④正方形：4 条对称轴，是。①②④⑤⑥ 中的 ①③④⑤⑥
- ⑤角：沿角平分线所在直线折，两边射线重合，是（注意对称轴是直线，不是那条射线）。⑥线段：沿它的中垂线折，两端点互换，是。
- ②平行四边形：沿任何一条直线折都不能重合（它是中心对称，不是轴对称），不是。平行四边形不是轴对称图形
- 结论：①③④⑤⑥ 都是轴对称图形。共 5 个
①③④⑤⑥，共 5 个
例 2△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，若 ∠A = 50°，∠B…
△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，若 ∠A = 50°，∠B = 70°，求 ∠C′ 的度数。
- 成轴对称的两个图形全等，对应角相等、对应边相等。△ABC ≌ △A′B′C′
- 先求 ∠C：三角形内角和 180°。∠C = 180° − 50° − 70° = 60°
- ∠C′ 与 ∠C 是对应角。∠C′ = ∠C = 60°
- 另一条路：直接在 △A′B′C′ 里算，∠A′ = 50°、∠B′ = 70°，同样得 60°。
60°